【力学】円盤x軸まわり慣性モーメントを求めてみた!!

物理

今回は円盤の x軸まわり慣性モーメントについて解説したいと思います。

「z軸まわり(円盤の法線方向)は覚えてるけどx軸は…」となっている方も割と多いのではないかと思います。

そんな方の参考になればと、色々な方法(といっても2種類ですが)でやっていきたいと思います。

ではさっそく行きましょう。

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円盤\(x\)軸まわり慣性モーメント

慣性モーメントの定義から求めていく方法

x軸慣性モーメントの定義は

$$
I_x = \int y^2 dm\tag{1}
$$

です。

\(dm\)は図形の微小部分の質量になります。

これを念頭に進めていきます。

微小質量

上のような半径\(a\)、質量\(m\)、面密度\(\sigma\)の円盤をx軸まわりに回転させたときの慣性モーメントを求めていきたいと思います。

ではまず、微小質量\(dm\)を求めていきます。

微小質量は

\(x\)軸と平行な帯状部分(赤い部分)の質量に分けて考えます。

よってこの部分の質量は長方形だと考えると

\begin{eqnarray}
dm = \sigma 2x dy\tag{2}
\end{eqnarray}

と考えられます。

慣性モーメント

では(1)式に(2)式を代入し計算していきます。

\begin{eqnarray}
I_x &=& \int y^2dm\\
&=& 2\sigma\int y^2 (a^2-y^2)^{\frac{1}{2}}dy\\
\end{eqnarray}

最後の変形で

$$
x^2+y^2 = a^2
$$

を使いました。

ここで、\(y = a\sin\theta\)とおくと

\begin{eqnarray}
I_x &=& 2\sigma a^4\int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}}\cos^2\theta \sin^2\theta d\theta\\
&=& 2a^4\frac{m}{\pi a^2} \int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} \left(\frac{1}{2}\sin 2\theta \right)^2 d\theta\\
&=& \frac{ma^2}{2\pi} \int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} \frac{1-\cos 4\theta}{2} d\theta\\
&=& \frac{1}{4}ma^2
\end{eqnarray}

となります。

これでx軸まわりの慣性モーメントが

$$
I_x = \frac{1}{4}ma^2
$$

ということが分かりました。

ちなみに(対称性から)y軸まわりの慣性モーメントも

$$
I_y = \frac{1}{4}ma^2
$$

となっています。

直交軸の定理から求めていく方法

ではもう一つ「直交軸の定理」から求める方法を紹介したいと思います。

直交軸の定理とは

$$
I_z = I_x + I_y \tag{3}
$$

という関係を表す定理です。

ここで、先ほども言ったととおり対称性から

$$
I_x=I_y
$$

となっているので(3)式に代入して変形すると

$$
I_z = 2I_x
$$

が言え、\(I_z\)が分かれば簡単に\(I_x\)を求めることができます。

ではこの方法で\(I_x\)を求めてみましょう。

\(I_z\)を求める

では\(I_z\)を求めます。

\begin{eqnarray}
I_z &=& \int_{0}^{a}\int_{0}^{2\pi} r^2\sigma r\sin\theta drd\theta\\
&=& \frac{\pi}{2}a^4\sigma\\
&=& \frac{1}{2}ma^2
\end{eqnarray}

となり、

$$
I_z = \frac{1}{2}ma^2
$$

がわかります。

\(I_x\)を求める

よって、

$$
I_x = \frac{1}{2}I_z = \frac{1}{4}ma^2
$$

となり、

$$
I_x = \frac{1}{4}ma^2
$$

で先ほどの値と一致しました。

同様に\(I_y\)も

$$
I_y = \frac{1}{4}ma^2
$$

となり、一致していることが分かります。

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