【量子力学】変分法で基底エネルギーを求める

物理

今回は変分法を用いて束縛状態の基底エネルギーを求めていきたいと思います。

変分法を使えば、シュレディンガー方程式を解くことなく、近似的に基底エネルギーを求めることができます。

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変分法を使って基底エネルギーを求める

使い方

使い方としては

  1. エネルギー汎関数を求める
  2. 求めた値の最小値をとる

の2ステップで基底エネルギーを求めることができます。

クーロンポテンシャルに束縛された粒子の基底エネルギー

それでは例題として、3次元のクーロンポテンシャルに束縛された粒子の基底エネルギーを求めていきましょう。

ではまず、エネルギー汎関数を求めていきます。

エネルギー汎関数は

$$
E[\psi] = \frac{ \langle\psi|{\hat H}|\psi\rangle }{\langle\psi|\psi\rangle}\tag{1}
$$

と表されます。

このとき\(\psi\)はテスト関数と呼ばれ、今回は

$$
\psi = e^{-ar} (aは変分パラメータ)
$$

を使います。

汎関数の分母

では汎関数を求めていきます。

まず、汎関数の分母\(\langle\psi|\psi\rangle\)から求めていきます。3次元のクーロンポテンシャルを考えるので、

$$
\begin{eqnarray}
\langle\psi|\psi\rangle &=& \int_{0}^{2\pi}d\phi \int_{0}^{\pi}d\theta \int_{0}^{\infty}r^2 \sin\theta e^{-2ar} dr \\
&=& 4\pi \int_{0}^{\infty}r^2 e^{-2ar} dr\\
&=& 8\pi\left(\frac{1}{2a}\right)^3\\
&=& \frac{\pi}{a^3}
\end{eqnarray}\tag{2}
$$

汎関数の分子

次は汎関数の分子の値を決めていきます。

$$
\langle\psi|{\hat H}|\psi\rangle = \int_{0}^{2\pi}d\phi \int_{0}^{\pi}d\theta \int_{0}^{\infty}r^2 \sin\theta \psi \left(\underbrace{-\frac{\hbar^2}{2m}\frac{d^2}{dr^2}}_{①}\underbrace{-\frac{e^2}{r} }_{②} \right)\psi dr
$$

これを解けばいいですが、一度にやるのは大変そうなので、①と②に分けて計算していきます。

まず、①は
$$
\begin{eqnarray}
① &=& -\frac{\hbar^2}{2m} \int_{0}^{2\pi}d\phi \int_{0}^{\pi}d\theta \int_{0}^{\infty}r^2 \sin\theta \psi \frac{d^2}{dr^2}\psi dr \\
&=&-\frac{\hbar^2}{2m}4\pi \int_{0}^{\infty}re^{-ar} \frac{d^2}{dr^2} re^{-ar}dr\\
&=& -\frac{\hbar^2}{2m}4\pi \int_{0}^{\infty}re^{-ar}(-2ae^{-ar}+a^2re^{-ar})\\
&=& -\frac{\hbar^2}{2m}4\pi\left\{-2a\left(\frac{1}{2a}\right)^2+a^2\left(\frac{1}{2a}\right)^3\cdot2!\right\}\\
&=& \frac{\hbar^2\pi}{2ma}
\end{eqnarray} \tag{3}
$$

②は

$$
\begin{eqnarray}
②&=& \int_{0}^{2\pi}d\phi \int_{0}^{\pi}d\theta \int_{0}^{\infty}r^2 \sin\theta \psi -\frac{e^2}{r}\psi dr \\
&=&-e^24\pi\int_{0}^{\infty}re^{-2ar}dr\\
&=&-4\pi e^2\left(\frac{1}{2a}\right)^2\\
&=&-\frac{\pi e^2}{a^2}
\end{eqnarray}\tag{4}
$$

となります。

よって(3)(4)式から、

$$
\langle\psi|{\hat H}|\psi\rangle = \frac{\hbar^2\pi}{2ma} -\frac{\pi e^2}{a^2} \tag{5}
$$

となります。

汎関数の最小値

(2)(5)式から、

$$
\begin{eqnarray}
E[\psi] &=& \frac{ \langle\psi|{\hat H}|\psi\rangle }{\langle\psi|\psi\rangle}\\
&=& \frac{ \frac{\hbar^2\pi}{2ma} -\frac{\pi e^2}{a^2} }{ \frac{\pi}{a^3} }\\
&=& \frac{\hbar^2a^2}{2m}-e^2a\\
&=&\frac{\hbar^2}{2m}\left(a-\frac{me^2}{\hbar^2}\right)^2-\frac{me^4}{2\hbar^2}
\end{eqnarray}
$$

となります。

よって汎関数\( E[\psi] \)は

$$
a=\frac{me^2}{\hbar^2}で最小値\frac{me^4}{2\hbar^2}
$$

を取ります。

この値はシュレディンガー方程式を解いて求めた値と一致しています!!

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