今回は変分法を用いて束縛状態の基底エネルギーを求めていきたいと思います。
変分法を使えば、シュレディンガー方程式を解くことなく、近似的に基底エネルギーを求めることができます。
変分法を使って基底エネルギーを求める
使い方
使い方としては
- エネルギー汎関数を求める
- 求めた値の最小値をとる
の2ステップで基底エネルギーを求めることができます。
クーロンポテンシャルに束縛された粒子の基底エネルギー
それでは例題として、3次元のクーロンポテンシャルに束縛された粒子の基底エネルギーを求めていきましょう。
ではまず、エネルギー汎関数を求めていきます。
エネルギー汎関数は
$$
E[\psi] = \frac{ \langle\psi|{\hat H}|\psi\rangle }{\langle\psi|\psi\rangle}\tag{1}
$$
と表されます。
このとき\(\psi\)はテスト関数と呼ばれ、今回は
$$
\psi = e^{-ar} (aは変分パラメータ)
$$
を使います。
汎関数の分母
では汎関数を求めていきます。
まず、汎関数の分母\(\langle\psi|\psi\rangle\)から求めていきます。3次元のクーロンポテンシャルを考えるので、
$$
\begin{eqnarray}
\langle\psi|\psi\rangle &=& \int_{0}^{2\pi}d\phi \int_{0}^{\pi}d\theta \int_{0}^{\infty}r^2 \sin\theta e^{-2ar} dr \\
&=& 4\pi \int_{0}^{\infty}r^2 e^{-2ar} dr\\
&=& 8\pi\left(\frac{1}{2a}\right)^3\\
&=& \frac{\pi}{a^3}
\end{eqnarray}\tag{2}
$$
汎関数の分子
次は汎関数の分子の値を決めていきます。
$$
\langle\psi|{\hat H}|\psi\rangle = \int_{0}^{2\pi}d\phi \int_{0}^{\pi}d\theta \int_{0}^{\infty}r^2 \sin\theta \psi \left(\underbrace{-\frac{\hbar^2}{2m}\frac{d^2}{dr^2}}_{①}\underbrace{-\frac{e^2}{r} }_{②} \right)\psi dr
$$
これを解けばいいですが、一度にやるのは大変そうなので、①と②に分けて計算していきます。
まず、①は
$$
\begin{eqnarray}
① &=& -\frac{\hbar^2}{2m} \int_{0}^{2\pi}d\phi \int_{0}^{\pi}d\theta \int_{0}^{\infty}r^2 \sin\theta \psi \frac{d^2}{dr^2}\psi dr \\
&=&-\frac{\hbar^2}{2m}4\pi \int_{0}^{\infty}re^{-ar} \frac{d^2}{dr^2} re^{-ar}dr\\
&=& -\frac{\hbar^2}{2m}4\pi \int_{0}^{\infty}re^{-ar}(-2ae^{-ar}+a^2re^{-ar})\\
&=& -\frac{\hbar^2}{2m}4\pi\left\{-2a\left(\frac{1}{2a}\right)^2+a^2\left(\frac{1}{2a}\right)^3\cdot2!\right\}\\
&=& \frac{\hbar^2\pi}{2ma}
\end{eqnarray} \tag{3}
$$
②は
$$
\begin{eqnarray}
②&=& \int_{0}^{2\pi}d\phi \int_{0}^{\pi}d\theta \int_{0}^{\infty}r^2 \sin\theta \psi -\frac{e^2}{r}\psi dr \\
&=&-e^24\pi\int_{0}^{\infty}re^{-2ar}dr\\
&=&-4\pi e^2\left(\frac{1}{2a}\right)^2\\
&=&-\frac{\pi e^2}{a^2}
\end{eqnarray}\tag{4}
$$
となります。
よって(3)(4)式から、
$$
\langle\psi|{\hat H}|\psi\rangle = \frac{\hbar^2\pi}{2ma} -\frac{\pi e^2}{a^2} \tag{5}
$$
となります。
汎関数の最小値
(2)(5)式から、
$$
\begin{eqnarray}
E[\psi] &=& \frac{ \langle\psi|{\hat H}|\psi\rangle }{\langle\psi|\psi\rangle}\\
&=& \frac{ \frac{\hbar^2\pi}{2ma} -\frac{\pi e^2}{a^2} }{ \frac{\pi}{a^3} }\\
&=& \frac{\hbar^2a^2}{2m}-e^2a\\
&=&\frac{\hbar^2}{2m}\left(a-\frac{me^2}{\hbar^2}\right)^2-\frac{me^4}{2\hbar^2}
\end{eqnarray}
$$
となります。
よって汎関数\( E[\psi] \)は
$$
a=\frac{me^2}{\hbar^2}で最小値\frac{me^4}{2\hbar^2}
$$
を取ります。
この値はシュレディンガー方程式を解いて求めた値と一致しています！！
