今回は位置演算子・運動量演算子のユニタリ変換について紹介したいと思います。
線形代数などでおなじみのユニタリ行列ですが、その演算子にあたるものがユニタリ演算子で
$$
{\hat U}^{-1} = {\hat U}^{\dagger}\tag{1}
$$
と定義されています。
これを使って位置演算子などのユニタリ変換を行っていきます。
ユニタリ変換
ユニタリ演算子
ユニタリ演算子にはいくつか種類があり、座標推進したり反転を行ったりするものがあります。
今回はパリティを変換するユニタリ演算子\({\hat U}\)を扱っていきます。
パリティを変換するということは、簡単にいうと\(x\to -x\)に変換するということです。
よって、
$$
{\hat U}| x\rangle = | -x \rangle\tag{2}
$$
を満たします。
\({\hat U}^2 ={\hat 1}\)
ここで、このユニタリ演算子\({\hat U}\)の性質である
$$
{\hat U}^2 ={\hat 1}
$$
を証明したいと思います。
(2)式の左から\({\hat U}\)をかけると、
$$
{\hat U} {\hat U} | x\rangle = {\hat U} | -x \rangle \tag{3}
$$
となります。
(3)式の右辺を見ます。
\({\hat U}\)は\(x \)を\(-x\)に変換する演算子だったので、逆に\(-x\)は\(x\)に変換されることになります。
よって(3)式は
$$
{\hat U} {\hat U} | x\rangle = \underbrace{{\hat U} | -x \rangle = | x \rangle }_{ -xをxに変換 }
$$
よって
$$
{\hat U}^2 ={\hat 1} \tag{4}
$$
となります。
位置演算子のユニタリ変換
では、位置演算子をユニタリ変換していきましょう。
ユニタリ変換は
$$
{\hat U}^{-1}{\hat x}{\hat U}\tag{5}
$$
と表されます。
固有状態\(| x \rangle\)をかける
(5)式の右から固有状態\(| x \rangle\)をかけ、(2)式を使って変形すると
$$
{\hat U}^{-1}{\hat x}{\hat U} | x \rangle = {\hat U}^{-1}{\hat x} | -x \rangle \tag{6}
$$
この式の右辺を
$$
{\hat U}^{-1} \underbrace{{\hat U} {\hat U}}_{(4)より{\hat 1}} {\hat x} | -x \rangle= {\hat U} {\hat x} | -x \rangle
$$
と変形します。
\(-x\)を\(x\)に変換
先ほどと同様に\({\hat U}\)によって \(-x\)は\(x\)に変換されることになるので、
$$
{\hat U} \underbrace{{\hat x} | -x \rangle}_{ {\hat U} は両方に作用} = -x|x\rangle
$$
となります。
(6)式に代入
よって、(6)式(7)式を代入すると
$$
{\hat U}^{-1}{\hat x}{\hat U}| x\rangle = -x|x\rangle = -{\hat x}|x\rangle
$$
より、
$$
{\hat U}^{-1}{\hat x}{\hat U } = -{\hat x}
$$
となります。
運動量演算子のユニタリ変換
次に運動量演算子のユニタリ変換を行います。
\({\hat U} |p\rangle = | -p\rangle\)の証明
ここで、
$$
\langle x | p \rangle = \frac{1}{\sqrt{2\pi\hbar}}e^{\frac{ipx}{\hbar}}\tag{8}
$$
が成り立ちます。
$$
\langle p | {\hat U} |x\rangle = \langle p | -x\rangle \tag{9}
$$
を考えると
(9)式の右辺は(8)式から
$$
\begin{eqnarray}
\langle p | {\hat U} |x\rangle &=& \langle p | -x\rangle \\
&=& \langle -p | x\rangle
\end{eqnarray}\tag{10}
$$
となります。
(10)式のエルミート共役を取ると
$$
\langle x | {\hat U} |p\rangle = \langle x | -p\rangle
$$
すなわち
$$
{\hat U} |p\rangle = | -p\rangle \tag{11}
$$
となります。
同様に変形
ここまで来たら、位置演算子のユニタリ変換と同じ作業をすればよいので
$$
{\hat U}^{-1}{\hat p}{\hat U } = -{\hat p}
$$
が成り立つことが分かります。
