【量子力学】位置演算子・運動量演算子のユニタリ変換

物理

今回は位置演算子・運動量演算子のユニタリ変換について紹介したいと思います。

線形代数などでおなじみのユニタリ行列ですが、その演算子にあたるものがユニタリ演算子で

$$
{\hat U}^{-1} = {\hat U}^{\dagger}\tag{1}
$$

と定義されています。

これを使って位置演算子などのユニタリ変換を行っていきます。

スポンサーリンク

ユニタリ変換

ユニタリ演算子

ユニタリ演算子にはいくつか種類があり、座標推進したり反転を行ったりするものがあります。

今回はパリティを変換するユニタリ演算子\({\hat U}\)を扱っていきます。

パリティを変換するということは、簡単にいうと\(x\to -x\)に変換するということです。

よって、

$$
{\hat U}| x\rangle = | -x \rangle\tag{2}
$$

を満たします。

\({\hat U}^2 ={\hat 1}\)

ここで、このユニタリ演算子\({\hat U}\)の性質である

$$
{\hat U}^2 ={\hat 1}
$$

を証明したいと思います。

(2)式の左から\({\hat U}\)をかけると、

$$
{\hat U} {\hat U} | x\rangle = {\hat U} | -x \rangle \tag{3}
$$

となります。

(3)式の右辺を見ます。

\({\hat U}\)は\(x \)を\(-x\)に変換する演算子だったので、逆に\(-x\)は\(x\)に変換されることになります。

よって(3)式は

$$
{\hat U} {\hat U} | x\rangle = \underbrace{{\hat U} | -x \rangle = | x \rangle }_{ -xをxに変換 }
$$

よって

$$
{\hat U}^2 ={\hat 1} \tag{4}
$$

となります。

位置演算子のユニタリ変換

では、位置演算子をユニタリ変換していきましょう。

ユニタリ変換は

$$
{\hat U}^{-1}{\hat x}{\hat U}\tag{5}
$$

と表されます。

固有状態\(| x \rangle\)をかける

(5)式の右から固有状態\(| x \rangle\)をかけ、(2)式を使って変形すると

$$
{\hat U}^{-1}{\hat x}{\hat U} | x \rangle = {\hat U}^{-1}{\hat x} | -x \rangle \tag{6}
$$

この式の右辺を

$$
{\hat U}^{-1} \underbrace{{\hat U} {\hat U}}_{(4)より{\hat 1}} {\hat x} | -x \rangle= {\hat U} {\hat x} | -x \rangle
$$

と変形します。

\(-x\)を\(x\)に変換

先ほどと同様に\({\hat U}\)によって \(-x\)は\(x\)に変換されることになるので、

$$
{\hat U} \underbrace{{\hat x} | -x \rangle}_{ {\hat U} は両方に作用} = -x|x\rangle
$$

となります。

(6)式に代入

よって、(6)式(7)式を代入すると

$$
{\hat U}^{-1}{\hat x}{\hat U}| x\rangle = -x|x\rangle = -{\hat x}|x\rangle
$$

より、

$$
{\hat U}^{-1}{\hat x}{\hat U } = -{\hat x}
$$

となります。

運動量演算子のユニタリ変換

次に運動量演算子のユニタリ変換を行います。

\({\hat U} |p\rangle = | -p\rangle\)の証明

ここで、

$$
\langle x | p \rangle = \frac{1}{\sqrt{2\pi\hbar}}e^{\frac{ipx}{\hbar}}\tag{8}
$$

が成り立ちます。

$$
\langle p | {\hat U} |x\rangle = \langle p | -x\rangle \tag{9}
$$

を考えると

(9)式の右辺は(8)式から

$$
\begin{eqnarray}
\langle p | {\hat U} |x\rangle &=& \langle p | -x\rangle \\
&=& \langle -p | x\rangle
\end{eqnarray}\tag{10}
$$

となります。

(10)式のエルミート共役を取ると

$$
\langle x | {\hat U} |p\rangle = \langle x | -p\rangle
$$

すなわち

$$
{\hat U} |p\rangle = | -p\rangle \tag{11}
$$

となります。

同様に変形

ここまで来たら、位置演算子のユニタリ変換と同じ作業をすればよいので

$$
{\hat U}^{-1}{\hat p}{\hat U } = -{\hat p}
$$

が成り立つことが分かります。

タイトルとURLをコピーしました