今回は不確定性関係からポテンシャルの基底状態を求めてみたいと思います。
この方法ではシュレディンガー方程式を使わずに大まかな値を求めることができます。
とても便利ですね！！！
不確定性関係
不確定性関係は\(\Delta x \Delta p \geq \hbar\)という関係です。
これを利用して、 $$ \Delta p \sim \frac{\hbar}{\Delta x}\tag{1} $$ $$ x \sim \Delta x \tag{2} $$ としてハミルトニアン（エネルギー）を最小にする\(\Delta x\)を求めます。
よくわからないと思うので実際に問題を解いてみましょう。
問題
調和振動子ポテンシャルの基底エネルギー
では調和振動子の基底エネルギーを求めてみましょう。
調和振動子の力学的エネルギーは
$$ E = \underbrace{\frac{p^2}{2m}}_{運動エネルギー} + \underbrace{\frac{m\omega^2x^2}{2}}_{位置エネルギー} $$ となります。
ではこの式に(1),(2)式を代入すると、 $$ E \sim \frac{1}{2m}\left(\frac{\hbar}{\Delta x}\right)^2 + \frac{m\omega^2(\Delta x)^2}{2}\tag{3} $$
ここで\(E\)を\(\Delta x\)で微分します。 $$ \begin{eqnarray} \frac{dE}{d(\Delta x)} &=& -\frac{\hbar^2}{m(\Delta x)^3} + m\omega^2(\Delta x) \\ &=& -\frac{\hbar^2}{m(\Delta x)^3}\left(1 – \frac{m^2 \omega^2}{\hbar^2}(\Delta x)^4\right) \end{eqnarray} $$
ここで $$ \frac{dE}{d(\Delta x)} = 0 $$ のときに\(E\)は最小値（すなわち基底エネルギー）になるので、このときの\(\Delta x\)を求めると、
$$ -\frac{\hbar^2}{m(\Delta x)^3}\left(1 – \frac{m^2 \omega^2}{\hbar^2}(\Delta x)^4\right) = 0 $$ $$ \Delta x = \sqrt{\frac{\hbar}{m\omega}} \tag{4} $$ で基底エネルギーのときの\(\Delta x \)が求まります。
(3)式を(4)式に代入すると、 $$ E \sim \frac{\hbar^2}{2m}\left(\frac{m\omega}{\hbar}\right) + \frac{m\omega^2}{2}\frac{\hbar}{m\omega} $$ より、 $$ E \sim \hbar\omega $$ となり、基底エネルギーが求まりました！！
水素原子における電子の基底エネルギー
次は水素原子における電子の基底エネルギーを求めたいと思います。
といってもやり方は同じです。
まず、力学的エネルギーを求めます。
$$ \begin{eqnarray} E &=& \underbrace{\frac{p^2}{2m}}_{運動エネルギー} – \underbrace{\frac{e^2}{4\pi \epsilon_0 x}}_{位置エネルギー}\\ &\sim& \frac{1}{2m}\left(\frac{\hbar}{\Delta x}\right)^2 – \frac{e^2}{4\pi \epsilon_0 \Delta x}\tag{5} \end{eqnarray} $$
次に\(E\)を\(\Delta x\)で微分します。
$$ \begin{eqnarray} \frac{dE}{d(\Delta x)} &=& -\frac{\hbar^2}{m(\Delta x)^3} + \frac{e^2}{4\pi \epsilon_0 (\Delta x)^2}\\ &=& -\frac{\hbar^2}{m(\Delta x)^3}\left(1-\frac{e^2m\Delta x}{4\pi\epsilon_0\hbar^2}\right) \end{eqnarray} $$
\(\frac{dE}{d(\Delta x)} = 0\)のとき基底状態を取るから、そのときの\(\Delta x\)を求める。
$$ -\frac{\hbar^2}{m(\Delta x)^3}\left(1-\frac{e^2m\Delta x}{4\pi\epsilon_0\hbar^2}\right) = 0 $$ $$ \Delta x = \frac{4\pi\epsilon_0\hbar^2}{e^2m}\tag{6} $$
(6)式を(5)式に代入すると、
$$ E \sim \frac{\hbar^2}{2m}\left(\frac{e^2m}{4\pi\epsilon_0\hbar^2}\right)^2-\frac{e^2}{4\pi\epsilon_0}\left(\frac{e^2m}{4\pi\epsilon_0\hbar^2}\right) $$ なので、
$$ E \sim -\frac{e^4m}{32\pi^2\epsilon_0^2\hbar^2} $$ より、基底エネルギーが求まりました！！
