今回は不確定性原理の証明をしたいと思います。
不確定性原理は
$$
\Delta x \Delta p \geq \frac{\hbar}{2}
$$
と表されます。
ぼく自身
「なんでこの形なんだ？」
と疑問に思っていたので、同じ疑問を持つ方の助けになればと思います。
証明
エルミート演算子とその交換関係
まず、エルミート演算子\({\hat A},{\hat B}\)を考えます。
さらに、これらが交換関係
$$
[ {\hat A},{\hat B} ] = i{\hat C}\tag{1}
$$
を満たしているとします。
ノルム
さらに
$$
| a \rangle = ({\hat A} – \langle A \rangle)| \psi \rangle
$$
$$
| b \rangle = ({\hat B} – \langle B \rangle)| \psi \rangle
$$
と仮定すると、
$$
| a \rangle ^\dagger = \langle a | = ({\hat A} – \langle A \rangle)^\dagger\langle \psi | = ({\hat A} – \langle A \rangle)\langle \psi |
$$
$$
| b \rangle ^\dagger = \langle b | = ({\hat B} – \langle B \rangle)^\dagger\langle \psi | = ({\hat B} – \langle B \rangle)\langle \psi |
$$
（\( {\hat A},{\hat B} \)はエルミート演算子）
なので
ノルム\(\langle a | a \rangle, \langle b | b \rangle \)はそれぞれ
$$
\begin{eqnarray}
\langle a | a \rangle &=& \langle \psi |({\hat A – \langle A \rangle})^2| \psi \rangle \\
&\equiv& \Delta A^2
\end{eqnarray}\tag{2}
$$
また、
$$
\begin{eqnarray}
\langle b | b \rangle &=& \langle \psi |({\hat B – \langle B \rangle})^2| \psi \rangle \\
&\equiv& \Delta B^2
\end{eqnarray}\tag{3}
$$
となります。
内積
さらに\( \langle a | b \rangle, \langle b | a \rangle \)の内積を考えると
$$
\begin{eqnarray}
\langle a | b \rangle &=& \langle \psi |({\hat A}-\langle A \rangle)( {\hat B}-\langle B \rangle )|\psi\rangle\\
&=& \langle \psi |{\hat A} {\hat B}|\psi\rangle + \langle A \rangle \langle B \rangle
\end{eqnarray}\tag{4}
$$
同様に
$$
\begin{eqnarray}
\langle b | a \rangle &=& \langle \psi |({\hat B}-\langle B \rangle)( {\hat A}-\langle A \rangle )|\psi\rangle\\
&=& \langle \psi |{\hat B} {\hat A}|\psi\rangle + \langle A \rangle \langle B \rangle
\end{eqnarray}\tag{5}
$$
となります。
内積の虚部
内積\(\langle a | b \rangle \)の虚部は (1),(4),(5)式から
$$
\begin{eqnarray}
Im \langle a | b \rangle &=& \frac{ \langle a | b \rangle – \langle a | b \rangle ^\dagger}{2i} \\
&=& \frac{ \langle a | b \rangle – \langle b | a \rangle}{2i} \\
&=& \frac{ \langle \psi|[{\hat A},{\hat B}] | \psi \rangle}{2i}\\
&=& \frac{ i \langle C \rangle}{2i}\\
&=& \frac{ \langle C \rangle }{2}
\end{eqnarray}\tag{6}
$$
と書けます。
シュワルツの不等式
シュワルツの不等式
$$
|\langle a| b \rangle| \leq \sqrt{ \langle a| a \rangle \langle b| b \rangle }
$$
より、(6)式と合わせて考えると
$$
Im \langle a | b \rangle \leq |\langle a| b \rangle|
$$
なので
$$
Im \langle a | b \rangle \leq |\langle a| b \rangle| \leq \sqrt{ \langle a| a \rangle \langle b| b \rangle }
$$
よって、(2),(3)式より、
$$
\frac{| \langle {\hat C} \rangle |}{2}\leq \sqrt{(\Delta A^2)(\Delta B^2)}\tag{7}
$$
正準交換関係
(1)式と
$$
[{\hat x}, {\hat p}] = i\hbar
$$
を比較すると
$$
\begin{cases}
{\hat A} = {\hat x}\\
{\hat B} = {\hat p} \\
{\hat C} = \hbar
\end{cases}
$$
に対応するので(7)式に代入すると、
$$
\Delta x \Delta p \geq \frac{\hbar}{2}
$$
が成り立つことが分かります。
