今回は二次元曲面における微小変位した点の距離を求めたいと思います。
単純な距離はピタゴラスの定理などで求めることができますが、球面など曲面に沿って測った距離は積分を通して求めることができます。
問題設定
半径\(a\)の球の上に2点\(P,\;Q\)があり、点\(P\)の座標を\((a\rho\cos\theta,a\rho\sin\theta,z)\)とすると点\(Q\)の座標は\(P\)を微小変化させた\((a\rho\cos\theta+dx,a\rho\sin\theta+dy,z+dz )\)となる。
ただし\(0\leq \rho \leq 1\)である。
解法
では\(P,\;Q\)間の距離を求めていきましょう。
球面上の\(P,\;Q\)間の距離の二乗は $$ ds^2 = dx^2 + dy^2 + dz^2\tag{1} $$ となります。(微小距離なのでこれが成り立つ)
では\(dx,\; dy,\;dz\)を求めるために\(x,\;y,\;z\)を微分していきます。
\begin{eqnarray} \begin{cases} x = a\rho\cos\theta\\ y = a\rho\sin\theta\\ z = a\sqrt{1-\rho^2}\;\;\;(球面上にあるのでx^2+y^2+z^2=a^2から逆算) \end{cases} \end{eqnarray}
となっているのでこれらを\(\rho,\;\theta\)で微分すると
\begin{eqnarray} \begin{cases} dx = a\cos\theta d\rho – a\rho\sin\theta d\theta\\ dy = a\sin\theta d\rho + a\rho\cos\theta d\theta\\ dz = \frac{a\rho}{\sqrt{1-\rho^2}} d\rho \end{cases} \end{eqnarray}
となります。これらを(1)式に代入すると
\begin{eqnarray} ds^2 &=& (a\cos\theta d\rho – a\rho\sin\theta d\theta)^2 + (a\sin\theta d\rho + a\rho\cos\theta d\theta)^2 + \left(\frac{a\rho}{\sqrt{1-\rho^2}} d\rho\right)^2\\ &=& a^2 d\rho^2 + \frac{a^2\rho^2}{1-\rho^2} d\rho^2 + a^2\rho^2 d\theta^2\\ &=& \frac{a^2}{1-\rho^2} d\rho^2 + a^2\rho^2 d\theta^2 \tag{2}\\ \end{eqnarray}
球面上の距離
\(P(0,0,a),Q(a\rho\cos\theta,a\rho\sin\theta,z)\)としたときのPQ間の球面上の距離を求めてみましょう。
このとき以下の図のようにPQ間の距離は半径\(a\)と\(\rho\)だけで決まっているので(2)式は\(d\theta = 0\)となる。
よって(2)式は
$$ ds = \frac{a}{\sqrt{1-\rho^2}} d\rho \tag{3}$$ と変形できます。
\(\rho\)を0から\(\rho\)まで積分すると
$$ \begin{eqnarray} S &=& \int_{0}^{\rho} \frac{a}{\sqrt{1-\rho^2}} d\rho\\ &=& a\arcsin\rho \end{eqnarray} $$ となります。
球の円周を求める
この球の円周を求めてみましょう。
この際、\(\rho=1\)に固定して\(\theta\)を変化させていきます。
つまり、
$$
\begin{eqnarray}
\begin{cases}
\rho=1に固定するので、d\rho = 0 \\
\thetaは0\to 2\piまで変化させる
\end{cases}
\end{eqnarray}
$$
これらを考慮すると、
(2)式は、
$$
ds = a\rho d\theta\tag{4}
$$
\(\rho = 1\)なので
$$
ds = a d\theta
$$
となります。積分を行うと
$$
S_{円周} = \int_{円周}ds = \int_{0}^{2\pi} a d\theta = 2\pi a
$$
となり、これは小学校で習った円周の長さに一致します。
球の表面積
次に球の表面積を求めていきたいと思います。
面積要素
まず、面積要素を求めたいと思います。
面積要素は
- \(\rho=1\)に固定して\(\theta\)を変化さてできた微小距離
- \(\theta\)を固定して\(\rho\)を変化させてできた微小距離
これら二つの掛け算でできていると考えられます。
よって(3)式と(4)式を掛け合わせると面積要素\(dS\)は
$$
dS = \frac{a^2\rho}{\sqrt{1-\rho^2}} d\rho d\theta
$$
積分
これで積分を行います。
$$
\begin{eqnarray}
S_{表面積} &=& 2\int_{0}^{1} \int_{0}^{2\pi} \frac{a^2\rho}{\sqrt{1-\rho^2}} d\rho d\theta \\
&=& 4\pi a^2
\end{eqnarray}
$$
となり、これも知っている値と一致しました。
(\(\rho\)が0から1まで変化しますが、これでは半球の表面積になってしまうので全体を二倍しています。)
