【力学】積分で三角形の重心を求めてみた!!【公式の証明もあり】

物理

今回は積分を使って三角形の重心を求めていきたいと思います。

図形の重心は

$$
x_G = \frac{\int_S x ds}{S}\\
y_G = \frac{\int_S y ds}{S} \tag{1} \\
$$

で表されます。

(「【力学】半円板の重心と慣性モーメントを求めてみた」でも使いました。)

これを使うことでどのような図形の重心も柔軟に求めることができます。

具体例をやった後、この公式の証明を行いたいと思います。

スポンサーリンク

図形の重心

正三角形の重心

では正三角形の重心を求めてみましょう。

次のような正三角形を考えます。

そしてこの三角形の\(x\)方向の重心\(x_G\)は

$$
x_G = \frac{a}{2}
$$

にあることは図からわかります。

では、\(y\)軸方向の重心\(y_G\)を少し計算して求めてみましょう。

微小面積

(1)の重心を求める公式から

$$
y_G = \frac{\int_S y ds}{S}
$$

で求まります。

では、分子の積分を行っていきます。

まず、微小面積\(ds\)を求めます。

図の細長い面積に注目しましょう。この面積の大きさ\(ds\)は

$$
ds = x\times dy\tag{3}
$$

となっています。

また、\(x\)の値は三角形の相似から、

$$
h : a = (h-y) : x
$$

となるので

$$
\begin{eqnarray}
x &=& \frac{a(h-y)}{h}\\
&=& \frac{a( \frac{\sqrt{3}a}{2} -y)}{\frac{\sqrt{3}a}{2}}\\
&=& \frac{3a-2\sqrt{3}y}{3}
\end{eqnarray}\tag{4}
$$

となります。

(4)を(3)に代入すると

$$
ds = \frac{3a-2\sqrt{3}y}{3} dy\tag{5}
$$

となります。

最後に\(y\)をかけて積分してあげると

$$
\int_{0}^{\frac{\sqrt{3}a}{2}} y\frac{3a-2\sqrt{3}y}{3} dy = \frac{1}{8}a^3 \tag{6}
$$

となります。

また、この三角形の面積\(S\)は

$$
\begin{eqnarray}
S &=& a\times \underbrace{\frac{\sqrt{3}a}{2}}_{h}\times\frac{1}{2}\\
&=& \frac{\sqrt{3}a^2}{4}\tag{7}
\end{eqnarray}
$$

とるので(6),(7)式を重心の公式に代入してあげると

$$
y_G = \frac{ \frac{1}{8}a^3 }{ \frac{\sqrt{3}a^2}{4} } = \frac{\sqrt{3}a}{6}
$$

となります。

よってこの三角形の重心は

$$
\begin{cases}
x_G = \frac{a}{2}\\
y_G = \frac{\sqrt{3}a}{6}
\end{cases}
$$

この方法なら、何も正三角形でなくてもよくてどんな三角形でも重心を求めることができます。

証明

なぜこのような公式で重心が求まるのかを解説していこうと思います。

まず、(高校の物理でやったかと思われる)重心の公式

$$
\begin{eqnarray}
x_G &=& \frac{m_1x_1 + m_2x_2 + \cdots + m_Nx_N}{m_1 + m_2 + \cdots + m_N}\\
&=& \frac{\sum_{i =1}^{N}m_ix_i}{M} (Mは図形全体の質量)
\end{eqnarray}
$$

を思い出してもらえるといいと思います。

これは重心を求めたい物体を\(N\)個に分割して重心を求めているわけですが、分割の個数を\(N\to \infty\)の極限で考えると(つまり\(\infty\)個に物体を分割すると)

$$
x_G = \frac{\int x dm}{M}\tag{8}
$$

と積分でかけます。

ここでさらに\(dm\)は

$$
dm = \sigma ds (\sigma は面密度、dsは微小面積)\tag{9}
$$

と書けるので、(9)を(8)に代入すると

$$
\begin{eqnarray}
x_G &=& \frac{\int x dm}{M} \\
&=& \frac{\int x \sigma ds }{M} \\
&=& \frac{\int x ds }{S} (M = \sigma S)
\end{eqnarray}
$$

となります。

よって重心の公式は

$$
x_G = \frac{\int_S x ds}{S}\\
y_G = \frac{\int_S y ds}{S} \\
$$

となることが証明できました!!

【最後に】東大院試の過去問つくりました!!

東京大学大学院地球惑星科学専攻の専門科目の一つである「物理」の解答を作成し、noteで公開(販売)しました。

R2東京大学大学院地球惑星科学専攻の物理解答|いまぎし|note
R2東京大学大学院地球惑星科学専攻の専門科目の一つである、「物理」の解答です。 見やすくなるよう、全てTexで書きました。 ↑こんな感じです。 以下にファイルが3つあり、「R2-tokyo-3.pdf」「R2-tokyo-4.pdf」「R2-tokyo-5.pdf」となっています。 上から順番に第3問、...
H31東京大学大学院地球惑星科学専攻の物理解答|いまぎし|note
H31東京大学大学院地球惑星科学専攻の専門科目の一つである、「物理」の解答です。 見やすくなるよう、全てTexで書きました。 ↑こんな感じです。 以下にファイルが3つあり、「h31-tokyo-3.pdf」「h31-tokyo-4.pdf」「h31-tokyo-5.pdf」となっています。 上から順番に...
H30東京大学大学院地球惑星科学専攻の物理解答|いまぎし|note
H30東京大学大学院地球惑星科学専攻の専門科目の一つである、「物理」の解答です。 見やすくなるよう、全てTexで書きました。 ↑こんな感じです。 以下にファイルが3つあり、「h30-tokyo-3.pdf」「h30-tokyo-4.pdf」「h30-tokyo-5.pdf」となっています。 上から順番に...

現在R2,H30,H31年度分(計6問)を販売しています。

価格は一年度当たり1,980円です。

全てtexで作ったのでいくぶんか見やすいかと思います。

↓こんな感じ

全てご購入される場合、お得なマガジンもありますので是非チェックしてみてください!

ご購入はこちらから↓

R2~H30東京大学大学院地球惑星科学専攻の物理解答|いまぎし|note
R2~H30の東京大学大学院地球惑星科学専攻の物理過去問の解答を作りました。院試対策に役立ててください。
R2東京大学大学院地球惑星科学専攻の物理解答|いまぎし|note
R2東京大学大学院地球惑星科学専攻の専門科目の一つである、「物理」の解答です。 見やすくなるよう、全てTexで書きました。 ↑こんな感じです。 以下にファイルが3つあり、「R2-tokyo-3.pdf」「R2-tokyo-4.pdf」「R2-tokyo-5.pdf」となっています。 上から順番に第3問、...
H31東京大学大学院地球惑星科学専攻の物理解答|いまぎし|note
H31東京大学大学院地球惑星科学専攻の専門科目の一つである、「物理」の解答です。 見やすくなるよう、全てTexで書きました。 ↑こんな感じです。 以下にファイルが3つあり、「h31-tokyo-3.pdf」「h31-tokyo-4.pdf」「h31-tokyo-5.pdf」となっています。 上から順番に...
H30東京大学大学院地球惑星科学専攻の物理解答|いまぎし|note
H30東京大学大学院地球惑星科学専攻の専門科目の一つである、「物理」の解答です。 見やすくなるよう、全てTexで書きました。 ↑こんな感じです。 以下にファイルが3つあり、「h30-tokyo-3.pdf」「h30-tokyo-4.pdf」「h30-tokyo-5.pdf」となっています。 上から順番に...



参考

積分による重心位置の求め方 : わすれなぐさ
ここでは、重積分を使って物体の重心位置を求める方法を解説します。また、例として扇形や半円板の面積の求め方も記載しています。総和による重心位置の計算積分を使う前に、まずは総和によって重心位置を求める方法を考えてみます。質量 \(m_i\)、重心位置 \((x_i, y
重心を計算して求める(5)
タイトルとURLをコピーしました