量子力学

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物理

【量子力学】角運動量の合成~直積状態と合成状態~

角運動量の合成について解説したいと思います。 特に、電子スピンの合成問題を何回かに分けて解いていきたいと思います。 今回は二つの角運動量を合成したときの合成状態を $$| jm \rangle $$ としま...
物理

【量子力学】位置演算子・運動量演算子のユニタリ変換

今回は位置演算子・運動量演算子のユニタリ変換について紹介したいと思います。 線形代数などでおなじみのユニタリ行列ですが、その演算子にあたるものがユニタリ演算子で $${\hat U}^{-1} = {\hat U}^{...
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【量子力学】不確定性原理の導出

今回は不確定性原理の証明をしたいと思います。 不確定性原理は $$\Delta x \Delta p \geq \frac{\hbar}{2}$$ と表されます。 ぼく自身 「なんでこの形なんだ?」 ...
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物理

【量子力学】ルジャンドルの陪多項式と球面調和関数

今回はルジャンドルの陪多項式と球面調和関数を導出したいと思います。 ルジャンドルの陪多項式は前回導出したルジャンドル多項式の一般形にあたるものです。 球面調和関数は三次元のシュレディンガー方程式の固有関数...
物理

【量子力学】ルジャンドル多項式の導出

今回はルジャンドル多項式を求めます。 ルジャンドル多項式とはルジャンドルの微分方程式の解を級数で表示したものになります。 級数を使うので扱いに苦労するかもしれませんが、一つづつ見ていきましょう。 ルジャンドルの...
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【量子力学】ルジャンドルの微分方程式

今回はルジャンドルの微分方程式を求めたいと思います。 変数分離を行っていくので、慎重にやっていきましょう。 最終的には球面調和関数を求めていきたいと思います。 三次元シュレディンガー方程式 球面対称ポテンシ...
物理

【量子力学】パウリ行列からスピン状態を求める

今回はスピンの状態をを求めていきたいと思います。 パウリ行列を使って計算を行っていきます。 問題設定 静磁場中に電子が静止している場合を考える。 磁束密度の大きさを\(B\)とし, \(z\)軸正方向を...
物理

【量子力学】三次元のシュレディンガー方程式を変数分離で解く

今回は三次元のシュレディンガー方程式を変数分離で解いていきたいと思います。 三次元といっても、一次元のときとやることは変わらないので落ち着いて解いていきましょう。 問題設定 質量\(m\)の粒子が箱の中で運動してい...
物理

【波動関数】ストークスの波動公式を求める

今回は弦の波動方程式を解いて解としてストークスの波動公式を導きたいと思います。 波動方程式 波動方程式は $$ \frac{\partial^2 u}{\partial t^2} = c^2\frac{\parti...
物理

【フーリエ変換】シュレディンガー方程式の一般解~その2~

今回は前回のシュレディンガー方程式の一般解に初期条件を与えて、もう少し式をすっきりさせたいと思います。 前回の式 前回導いた式はこのような式でした。 $$ \Psi(t,x) = \int_{-\infty}^{\...
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