【統計】仮説検定について解説してみた！！

こんにちは

今回は「仮説検定」について解説していきたいと思います。

仮説検定

仮説検定では

といった手順を踏んでいきます。

では、具体的にやっていきましょう。

また例によってポッポの体重(の母平均)を検定していきます。

また、今回は体重の平均を調べるため、t分布を使った検定(t検定)を行っていきます。

では、「【統計】t分布について解説してみた！！」の例題をもう一度考えてみます。

9匹のポッポを捕まえ、体重を測定します。その結果、体重の平均が2.0kg, 体重のばらつき(標本標準偏差)が0.2kgとなったとします。
このとき、「母平均は1.8kg(ポケモン公式)である」という仮説は成り立つでしょうか？

話を整理すると

標本平均$\bar{X}$が2.0kg, 標本標準偏差$s$が0.2kg, 標本数が9です。

さらに仮説については

$$
\begin{cases}
H_0 : \mu = 1.8\\
H_1 : \mu \neq 1.8
\end{cases}
$$

となります。($H_0$を帰無仮説といいます。)

以上より、今回のtの値は

$$
t = \frac{2.0 – 1.8}{0.2/3} = 3
$$

となっていることが分かりました(この値をt検定量と呼びます)。

今回は有意水準を$\alpha = 0.05$で決めます。

有意水準とは、仮説を棄却するための基準です。

有意水準が$\alpha = 0.05$のときを考えると、tの値がt分布の上位2.5%以上もしくは下位2.5%以下(合わせて5%=0.05)なら仮説を棄却できます。

なぜなら、「$\mu = 1.8$と仮定した分布から、(上位(下位)2.5%以上(以下)という低い確率で)$\bar{X}=2.0$が得られた!!」と考えるよりも「そもそも$\mu = 1.8$という仮説が間違っている」と考えたほうが自然だからです。

さて、上位2.5%のtの値はいくらになっているか調べると(統計の教科書の巻末に載っているt分布表で調べます)、

$$
t_{0.025} = 2.26
$$

となります。

最後に、検定量(t検定量)の値が有意水準を超えているか/いないかを確かめます。

もし、超えている場合分布の上位(下位)2.5%に入ってしまっている(そんなことは滅多にないと考えている)ので、帰無仮説は棄却されます。

今回の場合は

$$
t = 3, t_{0.025} = 2.26
$$

となり、$t > t_{0.025}$で有意水準を超えています。

つまり、「$\mu = 1.8$と仮定した分布から$\bar{X}$が得られる確率は、上位(下位)2.5%以上(以下)」ということです。

こんな珍しいことは滅多に起きないので、「仮説$\mu = 1.8$が間違っている」と考えたほうが自然ですね。

よって、仮説$H_0 : \mu = 1.8$は棄却され、ポッポの体重の母平均は$\mu \neq 1.8$であることが分かりました。