【電磁気】導体表面における静電力を求めてみた!

物理

今回は「導体表面における静電力」について解説したいと思います。

導体表面に電荷があらわれているとき、そこには静電力が働いています。

結果からいうとその力の大きさは

$$
f = \frac{1}{2}\frac{\sigma^2}{\epsilon_0}  (\sigma は面密度)
$$

となります。

ではこれを証明していきましょう。

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導体表面における静電力

導体の表面に面密度\(\sigma\)で電荷が分布していて、導体の内部厚さ\(d\)の領域に一様な密度\(\rho = \frac{\sigma}{d}\)で分布しているとします。

「導体の中には電荷が入りこめない」ので不思議な感じがしますが、力は厚さ\(d\)に依存しないことが分かるので、最終的に\(d = 0\)とすればよいと考えます。

現実の導体においても、電荷は表面から\(10^{-10}m\)程度の厚みで分布しているので\(d\)もその程度の厚みと考えてもらってもいいと思います。

電荷が分布している領域での電場

ではまず、表面(\(x = 0\))から\(x = x (< d)\)の距離における電場を求めてみましょう。

\(x = 0\)をまたぐようにして底面積\(dS\),高さ\(2x\)の円柱の領域を考えると

\(E(x)\)を領域\(d\)内での電場、\(E\) を \(x<0\) のでの電場とするとガウスの法則から

$$
\int {\bf E \cdot dS} = \frac{\rho x dS}{\epsilon_0}
$$

$$
E(x) + E = \frac{\rho x}{\epsilon_0}\tag{1}
$$

となります。

ここで\(x=d\)での境界条件

$$
E(d) = 0\tag{2}
$$

を課すと(1)式より\(E\)は

$$
E = \frac{\rho d}{\epsilon_0} \tag{3}
$$

となります。

よって、(1),(3)式から導体内部の厚さ\(d\)領域において

$$
E(x) = \frac{\rho x}{\epsilon_0} -\frac{\rho d}{\epsilon_0}\tag{4}  
$$

となります。

表面に作用する力

導体外向きを正とすると、導体表面に作用する力は

$$
f = -\int_{0}^{d} \rho E(x) dx\tag{5}
$$

で与えられます。

よってこれに(4)式を代入すると

\begin{eqnarray}
f &=& -\int_{0}^{d} \rho E(x) dx \\
&=& -\int_{0}^{d} \rho \left( \frac{\rho x}{\epsilon_0} -\frac{\rho d}{\epsilon_0}\right) dx\\
&=& -\frac{1}{2} \frac{\rho^2}{\epsilon_0}d^2 + \frac{\rho^2}{\epsilon_0} d^2 \\
&=& \frac{1}{2}\frac{\sigma^2}{\epsilon_0}
\end{eqnarray}

となります。

これは電荷の存在する領域の厚さ\(d\)に依存していないので、電荷が表面のみ(\(d = 0\)) に分布している場合でもこの式が成り立つことが分かります。

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