今回は「超伝導体の電場侵入深度」について解説したいと思います。
超伝導体とは極低温で電気抵抗が０になってしまうもののことで、この超伝導体内では（低周波の）電場はごく表面にしか存在することができません。
具体的には
$$
\lambda = \sqrt{\frac{\epsilon_0 m c^2}{Ne^2}}
$$
程度の深さしか侵入することができません。
今回はこのことを証明していきたいと思います。
超伝導体の電場侵入深度
問題を解く上での方針
この問題を解く上での方針としては
- 超伝導体中での電子の振る舞いを考える（電子の運動方程式を立てる）
- マクスウェル方程式に１を代入し、電場の値を計算する
という流れで行きたいと思います。
超伝導体中での電子の振る舞いを考える
超伝導体では電気抵抗が０になります。
このことは、「電子が導体中のイオンと衝突することがない」と言い換えることができます。
これを電子の平均速度\({\bf {\bar v}}\)、電荷\(e\)、そして電子に作用している電場\({\bf E}\)を使って電子の運動方程式を立てると
$$
m\frac{d{\bf {\bar v}}}{dt} = e{\bf E}
$$
となります。（古典的な解釈ですが）
電流密度を考えた式
超伝導体に生じる電流密度\({\bf J}\)を考えてみましょう。
電流密度は単位時間、単位面積当たりに流れる電子の数に相当します。
なので、電子数\(N\)を使い
$$
{\bf J} = Ne{\bf {\bar v}}
$$
と表されます。
これを先ほどの式に代入すると
$$
m\frac{d{\bf {\bar v}}}{dt} = e{\bf E}
$$
$$
\frac{m}{Ne} \frac{\partial {\bf J}}{\partial t} = e{\bf E}
$$
$$
\frac{\partial {\bf J}}{\partial t} = \frac{Ne^2}{m}{\bf E}
$$
となります。
マクスウェル方程式に代入
マクスウェル方程式
$$
\nabla \times {\bf B} = \mu_0{\bf J} + \frac{1}{c^2}\frac{\partial {\bf E}}{\partial t}
$$
に先ほどの式を代入するために全体を\(t\)で微分します。
$$
\nabla \times \frac{\partial {\bf B}}{\partial t} = \mu_0\frac{\partial {\bf J}}{\partial t} + \frac{1}{c^2}\frac{\partial^2 {\bf E}}{\partial t^2}
$$
$$
\nabla \times \frac{\partial {\bf B}}{\partial t} = \mu_0\frac{Ne^2}{m}{\bf E} + \frac{1}{c^2}\frac{\partial^2 {\bf E}}{\partial t^2}
$$
さらに両辺に\(\nabla\)を作用させます。
$$
\underbrace{\nabla \cdot \left(\nabla \times \frac{\partial {\bf B}}{\partial t}\right)}_{0} = \mu_0\frac{Ne^2}{m}\nabla \cdot {\bf E} + \frac{1}{c^2}\frac{\partial^2(\nabla \cdot {\bf E})}{\partial t^2}
$$
ベクトル解析の結果から左辺はゼロになります。
さらに\(\nabla \cdot {\bf E}\)で式をまとめて整理すると
$$
\left(\frac{Ne^2 \mu_0}{m} + \frac{1}{c^2}\frac{\partial ^2}{\partial^2 t}\right)\nabla \cdot {\bf E} = 0
$$
となります。
\(\lambda\)を決める
ここで、式を見やすくするために
$$
\lambda^2 = \frac{m}{Ne^2\mu_0} = \frac{\epsilon_0 m c^2}{Ne^2}
$$
と置きます。
（二つ目の式変形で電磁波の速度
$$
c = \frac{1}{\sqrt{\mu_0\epsilon_0}}
$$
を使いました。）
すると先ほどの式は
$$
\left(\frac{1}{\lambda^2} + \frac{1}{c^2}\frac{\partial ^2}{\partial^2 t}\right)\nabla \cdot {\bf E} = 0
$$
となります。
\({\bf E}\)の形
ここで、\({\bf E}\)の形を
$$
{\bf E} = {\bf E_0}e^{i(\omega t – {\bf k \cdot r})}
$$
とおき先ほどの式に代入すると
$$
\left(\frac{1}{\lambda^2} + \frac{1}{c^2}\frac{\partial ^2}{\partial^2 t}\right)\nabla \cdot {\bf E} = 0
$$
$$
\left(\frac{1}{\lambda^2} – \frac{\omega^2}{c^2}\right)\nabla \cdot {\bf E} = 0
$$
となることが分かります。
すなわち、
$$
\frac{1}{\lambda^2} – \frac{\omega^2}{c^2} \neq 0
$$
$$
\omega \neq \frac{c}{\lambda}
$$
なら一般に
$$
\nabla \cdot {\bf E} = 0
$$
ということが分かります。
低周波の電場についての近似
ここで、少し前に戻り
$$
\nabla \times \frac{\partial {\bf B}}{\partial t} = \mu_0\frac{Ne^2}{m}{\bf E} + \frac{1}{c^2}\frac{\partial^2 {\bf E}}{\partial t^2}
$$
を考えます。
左辺
マクスウェル方程式
$$
\nabla \times {\bf E} = -\frac{\partial {\bf B}}{\partial t}
$$
より、左辺は
$$
\begin{eqnarray}
\nabla \times \frac{\partial {\bf B}}{\partial t} &=& -\nabla \times (\nabla \times {\bf E}) \\
&=& \nabla^2 {\bf E} – \nabla (\nabla \cdot {\bf E})
\end{eqnarray}
$$
となります。
さらに先ほどの式
$$
\nabla \cdot {\bf E} = 0
$$
から
$$
\nabla \times \frac{\partial {\bf B}}{\partial t} = \nabla^2 {\bf E}
$$
となります。
右辺
右辺の\( \frac{1}{c^2}\frac{\partial^2 {\bf E}}{\partial t^2} \)の項は
$$
{\bf E} = {\bf E_0}e^{i(\omega t – {\bf k \cdot r})}
$$
のとき、
$$
\frac{1}{c^2}\frac{\partial^2 {\bf E}}{\partial t^2} = -\frac{\omega^2}{c^2}{\bf E}
$$
となり、低周波数のとき
$$
-\frac{\omega^2}{c^2}{\bf E} \sim 0
$$
と近似できます。
方程式を解く
これらの考察から低周波数のとき
$$
\nabla^2 {\bf E} = \frac{1}{\lambda^2}{\bf E} \left(\lambda^2 = \frac{m}{Ne^2\mu_0} \right)
$$
となることが分かります。
この方程式を解くと
$$
{\bf E} = {\bf E_0}e^{-( x\frac{1}{\lambda_1}+y\frac{1}{\lambda_2} +z\frac{1}{\lambda_3})} ( \frac{1}{\lambda_1}+\frac{1}{\lambda_2}+\frac{1}{\lambda_3}=\frac{1}{\lambda} )
$$
となり、電磁波\({\bf E}\)は\(\lambda\)で最大振幅の\(\frac{1}{e}\)程度になってしまいます。
つまり、このことから\(\lambda\)程度の深さまでしか電場は侵入することができないことが分かりました。
参考
今回はこちらの本を参考にさせていただきました。ぜひチェックしてみてください。
