今回は弦の波動方程式を解いて解としてストークスの波動公式を導きたいと思います。
波動方程式
波動方程式は
$$ \frac{\partial^2 u}{\partial t^2} = c^2\frac{\partial^2 u}{\partial x^2} \tag{1} $$
とかけます。
変数変換
まず、次のように変数変換します。
\begin{eqnarray} \begin{cases} p = x -ct \\ q = x +ct \end{cases} \end{eqnarray}
ここで、波動方程式の解を\(u(x,t)\)を変数\(p,\;q\)を使って表したものを\(U(p,q)\)として、(1)を\(U(p,q)\)の式に置き換えたいと思います。
\(u(x,t) = U(p,q)\)なので、これを(1)式に代入すると、 $$ \frac{\partial^2 U}{\partial t^2} = c^2\frac{\partial^2 U}{\partial x^2}\tag{2} $$ となります。
ここで、鎖則を使うと $$ \begin{eqnarray} \frac{\partial U}{\partial t} &=& \frac{\partial p}{\partial t}\frac{\partial U}{\partial p} + \frac{\partial q}{\partial t}\frac{\partial U}{\partial q} \\ &=& -c\frac{\partial U}{\partial p} + c\frac{\partial U}{\partial q} \end{eqnarray} $$ となります。
よって(2)式の左辺は $$ \begin{eqnarray} \frac{\partial^2 U}{\partial t^2} &=& \frac{\partial}{\partial t}\left(-c\frac{\partial U}{\partial p} + c\frac{\partial U}{\partial q}\right) \\ &=& -c\left( -\frac{\partial}{\partial p}\frac{\partial U}{\partial t} + \frac{\partial}{\partial q}\frac{\partial U}{\partial t}\right)\\ &=& -c\left( -\frac{\partial}{\partial p}\left(-c\frac{\partial U}{\partial p} + c\frac{\partial U}{\partial q}\right) + \frac{\partial}{\partial q}\left(-c\frac{\partial U}{\partial p} + c\frac{\partial U}{\partial q}\right) \right)\\ &=& c^2\left( \frac{\partial^2 U}{\partial p^2} -2 \frac{\partial^2 U}{\partial p\partial q} – \frac{\partial^2 U}{\partial q^2} \right)\tag{3} \end{eqnarray} $$ となります。
同様にして、(2)式の右辺は $$ c^2\frac{\partial^2 U}{\partial x^2} = c^2\left(\frac{\partial^2 U}{\partial p^2} +2\frac{\partial^2 U}{\partial p \partial q} + \frac{\partial U}{\partial q^2}\right)\tag{4} $$ となります。
よって(3) = (4)なので $$ c^2\left( \frac{\partial^2 U}{\partial p^2} -2 \frac{\partial^2 U}{\partial p\partial q} – \frac{\partial^2 U}{\partial q^2} \right) = c^2\left(\frac{\partial^2 U}{\partial p^2} +2\frac{\partial^2 U}{\partial p \partial q} + \frac{\partial U}{\partial q^2}\right) $$ すなわち、 $$ \frac{\partial^2 U}{\partial p\partial q} = 0\tag{5} $$ となります。
ダランベールの解
(5)式を\(p\)で積分すると、 $$ \frac{\partial U}{\partial q} = f(q) $$ さらに\(q\)で積分すると、 $$ U = \int dq f(q) + g(p) $$ となります。
ここで、\(\int dq f(q) \)は\(q\)の任意の関数なので $$ \int dq f(q) = h(q) $$ と置くことができます。
よって、 $$ U = g(p) + h(q) $$ となり、\(p = x -ct, \; q = x +ct\)にもどすと、 $$ u(x,t) = g(x-ct) + h(x+ct)\tag{6} $$ となります。
これをダランベールの解といいます。
初期値
\(t=0\)での弦の変位と時間変化を
\begin{eqnarray} \begin{cases} u(x,0) = F_1(x)\\ \left . \frac{\partial u(x,t)}{\partial t}\right|_{t=0} = F_2(x) \end{cases} \end{eqnarray} とします。
変位
これを(6)式を使って書くと、
$$ u(x,0) = g(x) + h(x) = F_1(x)\tag{7} $$
時間変化
また、 $$ \frac{\partial u(x,t)}{\partial t} = \frac{\partial g(p)}{\partial t} + \frac{\partial h(q)}{\partial t} $$
ここで\(\frac{\partial g(p)}{\partial t}\)は鎖則を使って $$ \begin{eqnarray} \frac{\partial g(p)}{\partial t} &=& \frac{\partial p}{\partial t}\frac{\partial g}{\partial p} \\ &=& -c\left(\frac{\partial g}{\partial p}\right) \end{eqnarray} $$ となります。
\(\frac{\partial h(q)}{\partial t}\)も同様に $$ \begin{eqnarray} \frac{\partial h(q)}{\partial t} &=& c\left(\frac{\partial h}{\partial q}\right) \end{eqnarray} $$
となります。
\(t = 0\)を代入すると、\(p = x,\; q= x\)となるので $$ \begin{eqnarray} \left . \frac{\partial u(x,t)}{\partial t}\right|_{t=0} &=& \left . -c\left(\frac{\partial g}{\partial p}\right) + c\left(\frac{\partial h}{\partial q}\right) \right|_{t=0} \\ &=& c\left(\frac{\partial h(x)}{\partial x}-\frac{\partial g(x)}{\partial x}\right)\\ &=& F_2(x)\tag{8} \end{eqnarray} $$
ストークスの波動公式
(8)式を\(x\)で積分すると、 $$ h(x) – g(x) = \frac{1}{c}\int_{0}^{x}dx’\;F_2(x’)\tag{9} $$ となります。
\(h(x + ct)\)を求める
(7)+(9)は $$ 2h(x) = F_1(x) + \frac{1}{c}\int_{0}^{x}dx’\;F_2(x’) $$ より、 $$ h(x) = \frac{1}{2}F_1(x) + \frac{1}{2c}\int_{0}^{x}dx’\;F_2(x’) $$ \(x\)を\(x+ct\)に置き換えると $$ h(x+ct) = \frac{1}{2}F_1(x+ct) + \frac{1}{2c}\int_{0}^{x+ct}dx’\;F_2(x’)\tag{10} $$
\(g(x-ct)\)を求める
(7)-(9)は $$ 2g(x) = F_1(x)-\frac{1}{c}\int_{0}^{x}dx’\;F_2(x’) $$ より、 $$ g(x) = \frac{1}{2}F_1(x)-\frac{1}{2c}\int_{0}^{x}dx’\;F_2(x’) $$ \(x\)を\(x-ct\)に置き換えると $$ g(x-ct) = \frac{1}{2}F_1(x-ct) – \frac{1}{2c}\int_{0}^{x-ct}dx’\;F_2(x’)\tag{11} $$
ストークスの波動公式
(10),(11)より、 $$ \begin{eqnarray} u(x,t) &=& g(x-ct) + h(x+ct) \\ &=& \frac{1}{2}F_1(x-ct) – \frac{1}{2c}\int_{0}^{x-ct}dx’\;F_2(x’) + \frac{1}{2}F_1(x+ct) + \frac{1}{2c}\int_{0}^{x+ct}dx’\;F_2(x’) \\ &=& \frac{1}{2}\left[F_1(x-ct) + F_1(x+ct)\right] + \frac{1}{2c}\int_{x-ct}^{x+ct}dx’\;F_2(x’) \end{eqnarray} $$ となります。
これをストークスの波動公式といいます。
コメント
[…] […]