【力学】バネで連結した振り子の運動を解析してみた!

物理

今回は「バネで連結した振り子」の運動を解析していきたいと思います。

一種の連成振動ですが、そこまで難しくないので、慣れておくとスムーズに解けると思います。

ではやっていきましょう。

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バネで連結した振り子

以下のような状況を考えます。

質量\(m\)、長さ\(l\)の振り子があるときに、この二つの重りをばね定数\(k\)のバネで連結します。

最後にこれを上図のように微小振動させたときの運動を求めます。

運動方程式を立てる

ではこの振り子の運動方程式を立てます。

今回は極座標を使い、角度方向(\(\theta\)方向)に運動方程式を立てます。

角度方向の加速度

角度方向の加速度は

$$
\frac{1}{r}\frac{d}{dt}\left(r^2\dot \theta\right)
$$

と表せます。

さらに\(r = l\)で一定なので

$$
\frac{1}{l}\frac{d}{d t}\left(l^2\dot \theta\right) = l\ddot \theta
$$

となります。

働く力

これらの振り子に働く力は「ばねの力」と「重力」です。

ばねの力の大きさは、微小振動する前が自然長だったとすると、そこから縮んだ分の力が生まれるので、

$$
kl(\sin\theta_2 – \sin\theta_1)
$$

となります。

重力は角度方向に掛かる力を考えると

$$
mg\sin\theta
$$

となります。

運動方程式

結局運動方程式は

\begin{cases}
ml\ddot \theta_1 = -mg\sin\theta_1 + kl(\sin\theta_1 – \sin\theta_2)\\
ml\ddot \theta_2 = -mg\sin\theta_2 – kl(\sin\theta_1 – \sin\theta_2)
\end{cases}

となります。

近似と計算

いま、微小振動なので\(\sin\theta \sim \theta\)とおき、整理すると

\begin{cases}
\ddot \theta_1 = -\frac{g}{l}\theta_1 + \frac{k}{m}(\theta_1 – \theta_2)\\
\ddot \theta_2 = – \frac{g}{l} \theta_2 – \frac{k}{m} (\theta_1 – \theta_2)
\end{cases}

上の二式を足し算すると

$$
\ddot \theta_1 + \ddot \theta_2 = -\frac{2g}{l}(\theta_1 + \theta_2)\tag{1}
$$

また、上の二式を引き算すると

\begin{eqnarray}
\ddot \theta_1 -\ddot \theta_2 &=& -\frac{g}{l}(\theta_1 – \theta_2) + 2\frac{k}{m}(\theta_1 – \theta_2)\\
&=& \left(-\frac{g}{l}+ 2\frac{k}{m}\right)(\theta_1 – \theta_2) \tag{2}
\end{eqnarray}

となります。

なんだか似たようなものが両辺にあるのでこれらを

\begin{cases}
\theta_+ = \theta_1 +\theta_2\\
\theta_- = \theta_1 – \theta_2
\end{cases}

とおくと(1),(2)式は

\begin{cases}
\theta_+ = -\frac{2g}{l}\theta_+\\
\theta_- = \left(-\frac{g}{l}+ 2\frac{k}{m}\right)\theta_-
\end{cases}

となります。

これを解くと

$$
\theta_+ = A_+ \cos \left(\sqrt{\frac{g}{l}}t + \delta_+\right)
$$

$$
\theta_- = A_- \cos \left(\sqrt{\frac{g}{l} – 2\frac{k}{m}}t + \delta_-\right)
$$

となるので\(\theta_1,\theta_2\)は

$$
\theta_1 = \theta_+ + \theta_- = A_+ \cos \left(\sqrt{\frac{g}{l}}t + \delta_+\right) + A_- \cos \left(\sqrt{\frac{g}{l} – 2\frac{k}{m}}t + \delta_-\right)
$$

$$
\theta_2 = \theta_+ – \theta_- = A_+ \cos \left(\sqrt{\frac{g}{l}}t + \delta_+\right) – A_- \cos \left(\sqrt{\frac{g}{l} – 2\frac{k}{m}}t + \delta_-\right)
$$

となります!

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