【量子力学】パウリ行列からスピン状態を求める

物理

今回はスピンの状態をを求めていきたいと思います。

パウリ行列を使って計算を行っていきます。

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問題設定

静磁場中に電子が静止している場合を考える。

磁束密度の大きさを\(B\)とし, \(z\)軸正方向を向いているとする。

また、電子のハミルトニアンはパウリ行列\({\bf \sigma}\)を用いて

$$
{\bf s} = \frac{\hbar}{2}{\bf \sigma}\\
{\hat H} = -\mu{\bf \sigma} \cdot {\bf B}=-\mu(\sigma_1B_1 + \sigma_2B_2 + \sigma_3B_3)
$$

と与えられる。

解法

ハミルトニアンのエネルギー固有値

磁束密度は\(z\)軸方向にしか働いていないので、ハミルトニアンは

$$
H = -\mu(0+0 + \sigma_3B) = -\mu B \sigma_3
$$

ここで、\(\sigma_3\)はパウリ行列なので

$$
\sigma_3 = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix}
$$

となっています。

\(\sigma_3\)の固有値は-1,1なので、ハミルトニアンのエネルギー固有値は\(-\mu B,\;\;\mu B\)となります。

\(x\)軸方向のスピン状態

$$
s_3 = \frac{\hbar}{2}\sigma_3
$$

としたとき、この固有ベクトルは

$$
| \uparrow \rangle = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix}   | \downarrow \rangle = \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix}
$$

となります。

これを用いて \(x\)軸正方向のスピン状態をあらわすと、

$$
| x_+\rangle = a|\uparrow\rangle + b|\downarrow\rangle (a,bは定数)
$$

となります。

ここから、\(a, b\)を求めていきます。

固有方程式

この\( | x_+\rangle \)は固有方程式

$$
\sigma_1 | x_+\rangle = \underbrace{1}_{ \sigma_1 の固有値} | x_+\rangle
$$

を満たすので、

$$\begin{eqnarray}
\sigma_1 | x_+\rangle &=& a\begin{pmatrix}0&1\\1&0\end{pmatrix}\begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix}+
b\begin{pmatrix}0&1\\1&0\end{pmatrix}\begin{pmatrix}0\\1\end{pmatrix} \\
&=&\begin{pmatrix}b\\a\end{pmatrix} \tag{1}
\end{eqnarray}
$$

\( \sigma_1 \)の逆行列は

$$
\begin{pmatrix}0&1\\1&0\end{pmatrix}
$$

なのでこれを(1)式の左からかけると

$$
| x_+\rangle = \begin{pmatrix}a\\b\end{pmatrix}\tag{2}
$$

となります。

規格化

\(\sigma_1\)の固有値は1なので、これを \(\sigma_1\) の対角成分から引いて固有ベクトルを求める。

$$
\begin{pmatrix}0-1&1\\1&0-1\end{pmatrix} \begin{pmatrix}a\\b\end{pmatrix} = \ \begin{pmatrix}0\\0\end{pmatrix}
$$

より、\(a, b\)の関係は\( b = a\)

また規格化条件

$$
|a|^2 + |b|^2 =1
$$

から、\(a = \frac{1}{\sqrt{2}}\)を取ると

$$
\begin{eqnarray}
| x_+\rangle &=& \frac{1}{\sqrt{2}}\begin{pmatrix}1\\1\end{pmatrix}\\
&=& \frac{1}{\sqrt{2}}|\uparrow\rangle+ \frac{1}{\sqrt{2}}|\downarrow\rangle
\end{eqnarray}
$$

となります。

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