今回はスピンの状態をを求めていきたいと思います。
パウリ行列を使って計算を行っていきます。
問題設定
静磁場中に電子が静止している場合を考える。
磁束密度の大きさを\(B\)とし, \(z\)軸正方向を向いているとする。
また、電子のハミルトニアンはパウリ行列\({\bf \sigma}\)を用いて
$$
{\bf s} = \frac{\hbar}{2}{\bf \sigma}\\
{\hat H} = -\mu{\bf \sigma} \cdot {\bf B}=-\mu(\sigma_1B_1 + \sigma_2B_2 + \sigma_3B_3)
$$
と与えられる。
解法
ハミルトニアンのエネルギー固有値
磁束密度は\(z\)軸方向にしか働いていないので、ハミルトニアンは
$$
H = -\mu(0+0 + \sigma_3B) ＝ -\mu B \sigma_3
$$
ここで、\(\sigma_3\)はパウリ行列なので
$$
\sigma_3 = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix}
$$
となっています。
\(\sigma_3\)の固有値は-1,1なので、ハミルトニアンのエネルギー固有値は\(-\mu B,\;\;\mu B\)となります。
\(x\)軸方向のスピン状態
$$
s_3 = \frac{\hbar}{2}\sigma_3
$$
としたとき、この固有ベクトルは
$$
| \uparrow \rangle = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix} | \downarrow \rangle = \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix}
$$
となります。
これを用いて \(x\)軸正方向のスピン状態をあらわすと、
$$
| x_+\rangle = a|\uparrow\rangle + b|\downarrow\rangle (a,bは定数)
$$
となります。
ここから、\(a, b\)を求めていきます。
固有方程式
この\( | x_+\rangle \)は固有方程式
$$
\sigma_1 | x_+\rangle = \underbrace{1}_{ \sigma_1 の固有値} | x_+\rangle
$$
を満たすので、
$$\begin{eqnarray}
\sigma_1 | x_+\rangle &=& a\begin{pmatrix}0&1\\1&0\end{pmatrix}\begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix}+
b\begin{pmatrix}0&1\\1&0\end{pmatrix}\begin{pmatrix}0\\1\end{pmatrix} \\
&=&\begin{pmatrix}b\\a\end{pmatrix} \tag{1}
\end{eqnarray}
$$
\( \sigma_1 \)の逆行列は
$$
\begin{pmatrix}0&1\\1&0\end{pmatrix}
$$
なのでこれを(1)式の左からかけると
$$
| x_+\rangle = \begin{pmatrix}a\\b\end{pmatrix}\tag{2}
$$
となります。
規格化
\(\sigma_1\)の固有値は1なので、これを \(\sigma_1\) の対角成分から引いて固有ベクトルを求める。
$$
\begin{pmatrix}0-1&1\\1&0-1\end{pmatrix} \begin{pmatrix}a\\b\end{pmatrix} = \ \begin{pmatrix}0\\0\end{pmatrix}
$$
より、\(a, b\)の関係は\( b = a\)
また規格化条件
$$
|a|^2 + |b|^2 =1
$$
から、\(a = \frac{1}{\sqrt{2}}\)を取ると
$$
\begin{eqnarray}
| x_+\rangle &=& \frac{1}{\sqrt{2}}\begin{pmatrix}1\\1\end{pmatrix}\\
&=& \frac{1}{\sqrt{2}}|\uparrow\rangle+ \frac{1}{\sqrt{2}}|\downarrow\rangle
\end{eqnarray}
$$
となります。
