【電磁気】穴が開いた導体円柱に生じる磁場を求めてみた!

物理

今回は「穴が開いた導体円柱に生じる磁場」について解説したいと思います。

導体円柱の内部に穴をあけ、その空間に生じている磁力を計算していきたいと思います。

結果を先に言うと内部には\(y\)方向に一定の磁場

$$
H_{y} = -\frac{d}{2}J
$$

が生じます。

これを計算で導出していきましょう。

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穴が開いた導体円柱に生じる磁場

無限に長い半径\(a\)の導体円柱の内部に中心から\(d\)だけ離れて半径\(b\)の円柱状の穴があけてあるとします。

このとき、この導体に電流密度\(J\)の電流が一様に流れているとき、この穴に生じる磁場を求めます。

方針

この問題を解く上での方針としては

  1. 穴が開いてないものとして、導体の内部に生じる磁場を求める
  2. 穴の部分に電流密度\(-J\)の電流が生じているとして内部の磁場を求める
  3. 1,2の磁場を足合わせる

ということをします。

穴が開いてないものとして、導体の内部に生じる磁場を求める

穴があっては計算しづらいので、穴がないものとして内部の磁場を求めます。

するとこれは簡単に求めることができます。

導体円柱の中心から\(r\)の位置\(P\)の磁場は、アンペールの法則から

$$
\oint_{s} H dl = J\pi r^{2}\\
$$

$$
H = \frac{J}{2}r
$$

となります。

穴の部分に電流密度\(-J\)の電流が生じているとして内部の磁場を求める

次に、穴の部分に電流密度\(-J\)の電流が生じているとして内部の磁場を求めていきます。

\(-J\)の電流密度が流れていれば\(J\)と打ち消し合って、穴の部分には磁場が存在しないことになりますね。

同様にして穴の中心から\(r’\)の位置にある点\(P\)に生じる磁場は

$$
H’ = -\frac{J}{2}r’
$$

となります。

磁場を足合わせる

最後にこれらの磁場を足し合わせると穴の内部の磁場が求まります。

\(x\)軸と\(y\)軸に分けて計算していきましょう。

\(x\)軸方向の磁場

\(P\)点の座標を(x,y)とすると

上のような幾何学的な関係から、\(x\)軸方向に生じる磁場は

$$
\begin{cases}
H_x = \frac{J}{2}r \frac{y}{r}= \frac{J}{2}y\\
H’_x = -\frac{J}{2}r’\frac{x}{r’} = -\frac{J}{2}y
\end{cases}
$$

となります。

これらから、\(P\)点の\(x\)軸方向に生じる磁場は

$$
H_x + H’_x = 0
$$

となります。

\(y\)軸方向の磁場

同様にして\(y\)軸方向の磁場は

$$
\begin{cases}
H_x = \frac{J}{2}r \frac{-x}{r} = -\frac{J}{2}x\\
H’_x = -\frac{J}{2}r’\left(-\frac{x-d}{r’}\right) = \frac{J}{2}y(x-d)
\end{cases}
$$

となるので、\(P\)点の\(y\)軸方向に生じる磁場は

$$
H_y + H’_y = -\frac{d}{2}J
$$

となります。

よって、穴の部分には\(y\)方向の一定の磁場が生じていることが分かりました。

参考

今回はこちらの本を参考にさせていただきました。ぜひチェックしてみてください。

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