今回は「スネルの法則」について解説したいと思います。
スネルの法則は
$$
\frac{\sin\theta_1}{\sin\theta_2} = \frac{v_1}{v_2}
$$
と表されます。高校物理でもやったかと思います。
今回はこの法則を波数、振動数、電磁波の伝播速度の性質から導出していきたいと思います。
スネルの法則
電磁波が誘電率\(\epsilon_1\)透磁率\(\mu_1\)の誘電体から、 誘電率\(\epsilon_2\)透磁率\(\mu_2\)の誘電体の境界面に入射した場面を考えます。
入射角を\(\theta_1\) 、反射角を\(\theta_1’\) 透過角を\(\theta_2\)とします。
このとき、スネルの法則を導きます。
問題を解くための方針
この問題を解くための方針としては
- 入射電場、反射電場、透過電場を書きだす
- 境界条件を考える
- 2を満たすような諸々の値を決めていく
という流れで行きたいと思います。
入射電場、反射電場、透過電場を書きだす
ではまず、入射電場、反射電場、透過電場を書きだしてみましょう。
すると
入射電場は
$$
\begin{eqnarray}
{\bf E_{in}} &=& {\bf E_{in}^0}\sin({\bf k_{in} \cdot r} – \omega_1 t)\\
&=& {\bf E_{in}^0}\sin(k_{inx}x + k_{iny}y + k_{inz}z – \omega_1 t)
\end{eqnarray}
$$
反射電場は
$$
\begin{eqnarray}
{\bf E_{re}} &=& {\bf E_{re}^0}\sin({\bf k_{re} \cdot r} – \omega_2 t)\\
&=& {\bf E_{re}^0}\sin(k_{rex}x + k_{rey}y + k_{rez}z – \omega_2 t)
\end{eqnarray}
$$
透過電場は
$$
\begin{eqnarray}
{\bf E_{tr}} &=& {\bf E_{tr}^0}\sin({\bf k_{tr} \cdot r} – \omega_3 t)\\
&=& {\bf E_{tr}^0}\sin(k_{trx}x + k_{try}y + k_{trz}z – \omega_3 t)
\end{eqnarray}
$$
となります。
ここで、\({\bf E^0}\)はその電場の振幅、\({\bf k}\)はその電場の波数ベクトル、\(\omega\)はその電場の振動数になります。
境界条件を考える
つぎに異なる誘電体間での境界条件を考えます。
でもやったように異なる誘電体の境界では電場の水平成分が等しくなるので
$$
E_{in}^0 \sin\theta_1 + E_{re}^0\sin\theta_1’ = E_{tr}^0\sin\theta_2
$$
となります。
境界条件を満たすように諸々の値を決めていく
まず、入射電場、反射電場、透過電場の\(x\)成分は
$$
E_{in}^0\sin\theta_1\sin(k_{inx}x + k_{iny}y + k_{inz}z – \omega_1 t)
$$
$$
E_{re}^0\sin\theta_1’\sin(k_{rex}x + k_{rey}y + k_{rez}z – \omega_2 t)
$$
$$
E_{tr}^0\sin\theta_2\sin(k_{trx}x + k_{try}y + k_{trz}z – \omega_3 t)
$$
となるので、境界では
$$
E_{in}^0\sin\theta_1\sin(k_{inx}x + k_{iny}y + k_{inz}z – \omega_1 t) + E_{re}^0\sin\theta_1’\sin(k_{rex}x + k_{rey}y + k_{rez}z – \omega_2 t) = E_{tr}^0\sin\theta_2\sin(k_{trx}x + k_{try}y + k_{trz}z – \omega_3 t)
$$
となることが分かります。
ここで、境界条件から
$$
E_{in}^0 \sin\theta_1 + E_{re}^0\sin\theta_1’ = E_{tr}^0\sin\theta_2
$$
となっているので
$$
\sin(k_{inx}x + k_{iny}y + k_{inz}z – \omega_1 t) + \sin(k_{rex}x + k_{rey}y + k_{rez}z – \omega_2 t) = \sin(k_{trx}x + k_{try}y + k_{trz}z – \omega_3 t)
$$
も成り立っていないといけないことが分かります。
つまり、\(\sin\)の中身が常に等しくなければならないことが分かりました。
ここから任意の\(t,x,y,z\)について恒等式が成り立つので
振動数は
$$
\omega_1 = \omega_2 = \omega_3 (= \omega)
$$
\(x\)方向の波数(\(y,z\)方向も成り立ちます)は
$$
k_{inx} = k_{rex} = k_{trx}
$$
となります。
反射の法則
\(x\)方向の波数は
$$
k_{inx} = k_{in} \sin\theta_1
$$
$$
k_{rex} = k_{re} \sin\theta_1′
$$
$$
k_{trx} = k_{tr} \sin\theta_2
$$
さらに分散関係
$$
\frac{\omega}{k} = v
$$
から、
$$
k_{in} = \frac{\omega_1}{v_1} = \sqrt{\epsilon_1\mu_1}\omega
$$
$$
k_{re} = \frac{\omega_2}{v_2} = \sqrt{\epsilon_1\mu_1}\omega
$$
$$
k_{tr} = \frac{\omega_3}{v_3} = \sqrt{\epsilon_2\mu_2}\omega
$$
が成り立ちます。
先ほど導出した
$$
k_{inx} = k_{rex}
$$
を思い出すと
$$
\sqrt{\epsilon_1\mu_1}\omega \sin\theta_1 = \sqrt{\epsilon_1\mu_1}\omega \sin\theta_1′
$$
なので
$$
\sin\theta_1 = \sin\theta_1′
$$
つまり、
$$
\theta_1 = \theta_1′
$$
となります。
これは入射角と反射角が等しいことを表していて、中学校からおなじみの「反射の法則」に相当します。
スネルの法則
同様に
$$
k_{inx} = k_{in} \sin\theta_1
$$
$$
k_{trx} = k_{tr} \sin\theta_2
$$
と分散関係
$$
\frac{\omega}{k} = v
$$
から、
$$
k_{in} = \frac{\omega_1}{v_1} = \sqrt{\epsilon_1\mu_1}\omega
$$
$$
k_{tr} = \frac{\omega_3}{v_3} = \sqrt{\epsilon_2\mu_2}\omega
$$
が成り立ちます。
先ほど導出した
$$
k_{inx} = k_{trx}
$$
を思い出すと
$$
\sqrt{\epsilon_1\mu_1}\omega \sin\theta_1 = \sqrt{\epsilon_2\mu_2}\omega \sin\theta_2
$$
つまり、
$$
\frac{\sin\theta_1}{v_1} = \frac{\sin\theta_2}{v_2}
$$
$$
\frac{\sin\theta_1}{\sin\theta_2} = \frac{v_1}{v_2}
$$
となりスネルの法則が導出できました！
参考
今回はこちらの本を参考にさせていただきました。ぜひチェックしてみてください。
