今回は磁化モーメントの分配関数
$$
Z = \prod_{\bf R}\frac{1}{4\pi}\int_{0}^{\pi}d\theta\sin\theta \int_{0}^{2\pi}d\phi e^{-\beta H}
$$
を求めた後、それを使って磁化の大きさ
$$
M = N\mu_mL(\beta\mu_m B)
$$
を導出していきたいと思います。
特に固体中に局在している磁気モーメントを考えていきたいと思います。
磁気モーメントの分配関数と磁化
図
図のような固体（箱）の格子点（箱の頂点）に大きさ\(\mu_m\)の磁気モーメントが存在するとします。
ハミルトニアン
とある格子点\(\bf R\)に存在する磁気モーメントを\(\bf m_R\)とします。
この固体に外部から磁束密度\(\bf B\)の外部磁場が存在するとき、 このハミルトニアン\(H\)は
$$
H = \bf -\sum_{R}m_R\cdot B\tag{1}
$$
と表されます。
磁気モーメントと磁場の内積
ここで、磁気モーメント\(\bf m_R\)を極座標表示すると
$$
{\bf m_R} = (\mu_m \sin\theta\cos\phi, \mu_m \sin\theta\sin\phi ,\mu_m\cos\theta)\tag{2}
$$
となります。
また、磁場の方向を\(z\)方向に限定すると、磁束密度は
$$
{\bf B} = (0,0,B)\tag{3}
$$
となります。
(2),(3)の内積を取ると
$$
{\bf m_R \cdot B} = \mu_m B \cos\theta\tag{4}
$$
となります。さらにこれを(1)のハミルトニアンの式に代入すると
$$
H =-\mu_m B\sum_{\bf R}\cos\theta\tag{5}
$$
が導けます。
分配関数
では分配関数\(Z\)を定義していきましょう。
「分配関数の計算～カノニカル分布～」で見たように、分配関数というのは\(e^{-\beta H}\)を全位相空間で積分 （つまり、\(x\)と\(p\)で積分） したもの でした。
なので、こちらも \(e^{-\beta H}\)を変数\(\theta,\phi\)の全範囲で積分してあげればよいことが分かります。
よって分配関数\(Z\)は
$$
Z = \prod_{\bf R}\underbrace{\frac{1}{4\pi}}_{規格化因子}\underbrace{\int_{0}^{\pi}d\theta\sin\theta \int_{0}^{2\pi}d\phi e^{-\beta H}}_{全範囲で積分}\tag{6}
$$
となります。
磁化の定義
では(6)の分配関数を用いて磁化を導出していきたいと思います。
磁化\(\bf M\)は
$$
\bf M \equiv \sum_{R}\langle m_R \rangle\tag{7}
$$
と定義されています。
これを\(Z\)で変形していきます。
変形
次のように変形していきます。
$$
\begin{eqnarray}
\bf M &=& \sum_{R}\langle m_R \rangle \\
&=& \frac{Z}{Z} \bf \sum_{R} m_R \\
&=& \underbrace{\prod_{\bf R}\frac{1}{4\pi}\int_{0}^{\pi}d\theta \sin\theta \int_{0}^{2\pi}d\phi e^{-\beta H} }_{Z}\frac{1}{Z} \bf \sum_{R} m_R \\
&=& \frac{1}{Z}\left( \prod_{\bf R}\frac{1}{4\pi}\int_{0}^{\pi}d\theta \sin\theta \int_{0}^{2\pi}d\phi \right)\exp\left(\beta \underbrace{ \bf \sum_{R}m_R\cdot B }_{(1)式} \right)\bf \sum_{R} m_R \tag{8}
\end{eqnarray}
$$
となります。ここで、
$$
\begin{eqnarray}
\frac{\partial Z}{\partial \bf B} &=& \left(\beta {\bf \sum_{R}m_R}\right)Z\\
&=& \beta \underbrace{\left( \prod_{\bf R}\frac{1}{4\pi}\int_{0}^{\pi}d\theta \sin\theta \int_{0}^{2\pi}d\phi \right) \exp\left(\beta \bf \sum_{R}m_R\cdot B \right) }_{Z} \bf{\sum_{R}m_R}\tag{9}
\end{eqnarray}
$$
となります。よってこの(9)式を(8)式に代入すると
$$
\begin{eqnarray}
M &=& \frac{1}{Z}\left(\frac{1}{\beta}\frac{\partial Z}{\partial \bf B}\right)\\
&=& \frac{1}{\beta}\frac{\partial}{\partial \bf B}\log Z\tag{10}
\end{eqnarray}
$$
となります。
Zの具体形
では\(Z\)を具体的に求めて(10)式に代入したいと思います。
$$
\begin{eqnarray}
Z &=& \prod_{\bf R}\frac{1}{4\pi}\int_{0}^{\pi}d\theta \sin\theta \underbrace{\int_{0}^{2\pi}d\phi}_{2\pi} \exp\left(\beta \mu_m B\sum_{\bf R}^{N}\cos\theta \right)\\
&=& \prod_{\bf R}\frac{1}{2}\int_{0}^{\pi}d\theta \sin\theta e^{\beta \mu_m B\cos\theta }\\
&=& \prod_{\bf R} \frac{e^{\beta \mu_m B}- e^{-\beta \mu_m B} }{2\beta\mu_m B}\\
&=& \left(\frac{\sinh \beta \mu_m B}{\beta \mu_m B}\right)^N
\end{eqnarray}\tag{11}
$$
最後から二番目の等式は置換積分を使いました。
\(z\)方向の磁化
では先ほど求めた(11)式を磁化の方程式(10)式に代入します。
このとき、磁束密度は\(z\)方向しかないので\(\bf M\)も\(z\)方向しかないと仮定します。これを\(M\)とすると、
$$
M = \frac{N}{\beta}\frac{\partial }{\partial B}\log\frac{\sinh \beta\mu_m B}{\beta \mu_m B} = N\mu_m L (\beta \mu_m B)
$$
となります。
ただし、
$$
L = \frac{d}{dx}\log\frac{\sinh x}{x} = \frac{\cosh x}{\sinh x}-\frac{1}{x}
$$
と置きました。
磁化の大きさ\(M\)をこれで求めることができました！！
