【フーリエ変換】シュレディンガー方程式の一般解

今回はシュレディンガー方程式の一般解をフーリエ変換を使って求めていきたいと思います。

シュレディンガー方程式は変数分離で解くことが多いと思いますが、それは特解であって一般解はフーリエ変換を駆使して求められます。

ではやっていきましょう。

シュレディンガー方程式の一般解を求める

代入していく

シュレディンガー方程式は $$ i\hbar\frac{\partial}{\partial t}\Psi(t,x) = -\frac{\hbar^2}{2m}\frac{\partial^2}{\partial x^2}\Psi(t,x)\tag{1} $$ と書ける。

これをフーリエ変換すると $$ \Psi(t,x) = \int_{-\infty}^{\infty}d\omega\int_{-\infty}^{\infty}dk\;{\tilde \Psi(\omega ,k)}e^{-i(\omega t -kx)}\tag{2} $$

(1)に(2)を代入すると、左辺は

$$ \begin{eqnarray} i\hbar\frac{\partial}{\partial t}\Psi(t,x) &=& i\hbar\frac{\partial}{\partial t}\left(\int_{-\infty}^{\infty}d\omega\int_{-\infty}^{\infty}dk\;{\tilde \Psi(\omega ,k)}e^{-i(\omega t -kx)}\right)\\ &=& i\hbar\left(-i\omega \int_{-\infty}^{\infty}d\omega\int_{-\infty}^{\infty}dk\;{\tilde \Psi(\omega ,k)}e^{-i(\omega t -kx)}\right)\\ &=& \hbar\omega\left(\int_{-\infty}^{\infty}d\omega\int_{-\infty}^{\infty}dk\;{\tilde \Psi(\omega ,k)}e^{-i(\omega t -kx)}\right)\tag{3} \end{eqnarray} $$

右辺は

$$ \begin{eqnarray} -\frac{\hbar^2}{2m}\frac{\partial^2}{\partial x^2}\Psi(t,x) &=& -\frac{\hbar^2}{2m}\frac{\partial^2}{\partial x^2}\left(\int_{-\infty}^{\infty}d\omega\int_{-\infty}^{\infty}dk\;{\tilde \Psi(\omega ,k)}e^{-i(\omega t -kx)}\right) \\ &=& -\frac{\hbar^2}{2m}\left((ik)^2\int_{-\infty}^{\infty}d\omega\int_{-\infty}^{\infty}dk\;{\tilde \Psi(\omega ,k)}e^{-i(\omega t -kx)}\right) \\ &=& \frac{\hbar^2 k^2}{2m}\left(\int_{-\infty}^{\infty}d\omega\int_{-\infty}^{\infty}dk\;{\tilde \Psi(\omega ,k)}e^{-i(\omega t -kx)}\right)\tag{4} \end{eqnarray} $$

(3)=(4)より、

$$ \hbar\omega\left(\int_{-\infty}^{\infty}d\omega\int_{-\infty}^{\infty}dk\;{\tilde \Psi(\omega ,k)}e^{-i(\omega t -kx)}\right) = \frac{\hbar^2 k^2}{2m}\left(\int_{-\infty}^{\infty}d\omega\int_{-\infty}^{\infty}dk\;{\tilde \Psi(\omega ,k)}e^{-i(\omega t -kx)}\right) $$ $$ \left(\hbar\omega-\frac{\hbar^2 k^2}{2m}\right)\left(\int_{-\infty}^{\infty}d\omega\int_{-\infty}^{\infty}dk\;{\tilde \Psi(\omega ,k)}e^{-i(\omega t -kx)}\right) = 0\tag{5} $$

デルタ関数を用いて表す

ここで(5)式が成り立つのは

$$ \begin{eqnarray} \left\{ \begin{array}{l} \omega-\frac{\hbar k^2}{2m} = 0 \\ \int_{-\infty}^{\infty}d\omega\int_{-\infty}^{\infty}dk\;{\tilde \Psi(\omega ,k)}e^{-i(\omega t -kx)}=0 \end{array} \right. \end{eqnarray} $$ の二つの場合です。

このとき、

$$ {\tilde \Psi(\omega ,k)} \neq 0 \Rightarrow　\omega = \frac{\hbar k^2}{2m} であり、 $$ $$ \omega \neq \frac{\hbar k^2}{2m} \Rightarrow　{\tilde \Psi(\omega ,k)} = 0 $$ でなければいけません。

これを満たす\({\tilde \Psi(\omega ,k)}\)はデルタ関数を用いて $$ {\tilde \Psi(\omega ,k)} = {\tilde \Psi(k)}\delta\left(\omega – \frac{\hbar k^2}{2m}\right)\tag{6} $$ と書くことができます。

もう一度代入する

(6)式を(2)式に代入してみましょう。

$$ \Psi(t,x) = \int_{-\infty}^{\infty}d\omega\int_{-\infty}^{\infty}dk\;{\tilde \Psi(k)}\delta\left(\omega – \frac{\hbar k^2}{2m}\right)e^{-i(\omega t -kx)} $$

ここで $$ \int_{-\infty}^{\infty}d\omega\;\delta\left(\omega – \frac{\hbar k^2}{2m}\right)e^{-i(\omega t -kx)} $$ $$ = e^{-i(\frac{\hbar k^2}{2m} t -kx)} $$ なので、

シュレディンガー方程式の一般解は $$ \Psi(t,x) = \int_{-\infty}^{\infty}dk\;{\tilde \Psi(k)}e^{-i(\frac{\hbar k^2}{2m} t -kx)} $$ となります。