今回は前回のシュレディンガー方程式の一般解に初期条件を与えて、もう少し式をすっきりさせたいと思います。
前回の式
前回導いた式はこのような式でした。
$$ \Psi(t,x) = \int_{-\infty}^{\infty}dk\;{\tilde \Psi(k)}e^{-i\left(\frac{\hbar k^2}{2m}t-kx\right)} \tag{1}$$
初期条件
ここに初期条件
$$ \Psi(0,x) = C\exp\left(-\frac{\alpha}{\hbar^2}x^2\right)\tag{2} $$
を考えます。すると、
(1)式において\(t = 0\)のとき
$$ \Psi(0,x) = \int_{-\infty}^{\infty}dk\;{\tilde \Psi(k)}e^{ikx} \tag{3} $$ となります。
(3) = (2)より、 $$ \int_{-\infty}^{\infty}dk\;{\tilde \Psi(k)}e^{ikx} = C\exp\left(-\frac{\alpha}{\hbar^2}x^2\right) $$ ここで、フーリエ逆変換をすると、
$$ {\tilde \Psi(k)} = \frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{\infty}dx\;C\exp\left(-\frac{\alpha}{\hbar^2}\right)e^{-ikx} $$ となります。計算を進めていくと
$$ \begin{eqnarray} {\tilde \Psi(k)} &=& \frac{C}{2\pi}\int_{-\infty}^{\infty}dx\;\exp\underbrace{\left(-\frac{\alpha}{\hbar^2}\left(x^2 + \frac{ik\hbar^2}{\alpha}x\right)\right)}_{平方完成する}\\ &=& \frac{C}{2\pi}\int_{-\infty}^{\infty}dx\;\exp\left(-\frac{\alpha}{\hbar^2}\left(x + \frac{ik\hbar^2}{2\alpha}\right)^2 – \left(\frac{k^2\hbar^2}{4\alpha}\right)\right)\\ &=& \frac{C}{2\pi}\exp\left(-\frac{k^2\hbar^2}{4\alpha}\right)\underbrace{\int_{-\infty}^{\infty}dx\;\exp\left(-\frac{\alpha}{\hbar^2}\left(x + \frac{ik\hbar^2}{2\alpha}\right)^2 \right)}_{ガウスの公式}\\ &=& \frac{C}{2\pi}\exp\left(-\frac{k^2\hbar^2}{4\alpha}\right)\sqrt{\frac{\pi\hbar^2}{\alpha}}\tag{4} \end{eqnarray} $$
となります。
一般解
\({\tilde \Psi(k)}\)が求まったのでこれを(1)式に代入します。
$$ \begin{eqnarray} \Psi(t,x) &=& \int_{-\infty}^{\infty}dk\;{\tilde \Psi(k)}e^{-i\left(\frac{\hbar k^2}{2m}t-kx\right)}\\ &=& \int_{-\infty}^{\infty}dk\;\frac{C}{2\pi}\exp\left(-\frac{k^2\hbar^2}{4\alpha}\right)\sqrt{\frac{\pi\hbar^2}{\alpha}}e^{-i\left(\frac{\hbar k^2}{2m}t-kx\right)} \\ &=& \frac{C}{2\pi}\sqrt{\frac{\pi\hbar^2}{\alpha}}\int_{-\infty}^{\infty}dk\;\exp\left(-\frac{k^2\hbar^2}{4\alpha}-i\left(\frac{\hbar k^2}{2m}t-kx\right)\right) \\ &=& \frac{C}{2\pi}\sqrt{\frac{\pi\hbar^2}{\alpha}}\int_{-\infty}^{\infty}dk\;\exp\left(\left(-\frac{m\hbar^2 + i2\alpha\hbar t}{4\alpha m}\right)\left(k^2 -\frac{i4\alpha mx}{m\hbar^2 + i2\alpha\hbar t}k\right)\right) \end{eqnarray} $$
ここで\(A = \frac{m\hbar^2 + i2\alpha\hbar t}{4\alpha m}\)とおくと、
$$ \begin{eqnarray} \Psi(k) &=& \frac{C}{2\pi}\sqrt{\frac{\pi\hbar^2}{\alpha}}\int_{-\infty}^{\infty}dk\;\exp\left(-A\left(k^2 -\frac{ix}{A}k\right)\right)\\ &=& \frac{C}{2\pi}\sqrt{\frac{\pi\hbar^2}{\alpha}}\int_{-\infty}^{\infty}dk\;\exp\left(-A\left[\left(k-\frac{ix}{2A}\right)^2 +\frac{x^2}{4A^2}\right]\right)\\ &=& \frac{C}{2\pi}\sqrt{\frac{\pi\hbar^2}{\alpha}}\int_{-\infty}^{\infty}dk\;\exp\left(-A\left(k-\frac{ix}{2A}\right)^2-\frac{x^2}{4A}\right)\\ &=& \frac{C}{2\pi}\sqrt{\frac{\pi\hbar^2}{\alpha}}\exp\left(-\frac{x^2}{4A}\right)\sqrt{\frac{\pi}{A}}\\ &=& \frac{C}{2}\sqrt{\frac{\hbar^2}{A\alpha}}\exp\left(-\frac{x^2}{4A}\right)\\ &=& \frac{C}{2}\sqrt{\frac{4m \hbar}{m\hbar + i2\alpha t}}\exp\left(-\frac{\alpha m x^2}{m\hbar^2 + i2\alpha\hbar t}\right) \end{eqnarray} $$ となります。
