今回はラザフォード散乱について解説したいと思います。
この問題は惑星運動にも似ているところがあるので興味深いところです。
問題設定
原子核と陽子の質量をそれぞれ \(M\)と\(m\),電荷を \(Ze\) と\(e\)とする. \(m \ll M\) であり,原子核の運動は無視してよい.ここでは,真空中における散乱を考え,真空の誘電率を \(\epsilon_0\)とする。
図のように,原子核に向けて, 無限遠から陽子が初速度\(v_0\)で入射することを考える。無限遠にある陽子から初速度の方向に伸ばした直線と原子核の間の距離を\(s\)とする.
解法
陽子の速さ
ではまず、陽子の速さを求めていきたいと思います。
原子核と陽子の距離が\(r\)のときの速さを\(v\)とすると、エネルギー保存則から $$ \frac{1}{2}mv_0^2 = \frac{kZe^2}{r}+\frac{1}{2}mv^2 $$ と書けるので変形して $$ v = \sqrt{v_0^2 – \frac{2kZe^2}{mr}}\tag{1} $$ となります。
極座標表示
では次に、先ほど求めた速さを極座標で表してみましょう。
動径方向の速さは $$ v_r={\dot r} $$ 角度方向の速さは $$ v_\theta = r{\dot \theta} $$ なので
速さ\(v\)は $$ v = \sqrt{v_r^2+v_\theta^2} = \sqrt{{\dot r}^2 + r^2{\dot \theta}^2} \tag{2} $$ となります。
角運動量保存
次に角運動量保存を考えます。
陽子と原子核の距離が\(r\)のときの角運動量は $$ L = r \times mv_\theta = mr^2{\dot \theta}\tag{3} $$ となります。
また、無限遠での角運動量は 下の図から $$ v_\theta = v_0\sin\theta = v_0\frac{b}{r} $$ なので、
$$ \begin{eqnarray} L = r \times mv_\theta &=& mrv_0\sin\theta\\ &=& mrv_0\frac{b}{r}\\ &=& mbv_0\tag{4} \end{eqnarray} $$ となります。
よって(3),(4)式と角運動量保存の法則から $$ mbv_0 = mr^2{\dot \theta} $$ $$ {\dot \theta} = \frac{bv_0}{r^2}\tag{5} $$ となります。
\(u\)を使った変形
$$ u=\frac{1}{r} $$ としたとき、(5)式は $$ {\dot \theta} = u^2bv_0 $$
\({\dot r}\)を求める
さらに、 $$ {\dot r}=\frac{dr}{d\theta}{\dot \theta} $$ なので $$ {\dot r}=u^2bv_0\frac{du}{d\theta}\frac{dr}{du} $$ ここで、 $$ \frac{dr}{du}=-\frac{1}{u^2} $$ なので $$ {\dot r}=-u^2bv_0\frac{du}{d\theta}\frac{1}{u^2} $$
\(\frac{du}{d\theta}\)を求める
上の式を変形して $$ \frac{du}{d\theta} = \frac{{\dot r}}{bv_0} $$ となります。
(1),(2)式から、 $$ {\dot r} = \pm\sqrt{v_0^2-r^2{\dot \theta}^2-\frac{2kZe^2}{mr}} $$ となるので
$$ \frac{du}{d\theta}=\pm\sqrt{\frac{1}{b^2}-u^2-\frac{2kZe^2}{mv_0^2b^2}u} $$ となります。
積分
\(\frac{du}{d\theta}\)をさらに変形すると、 $$ \frac{du}{d\theta}=\pm\sqrt{\underbrace{\frac{1}{b^2}+\frac{Z^2e^4}{m^2v_0^4b^4}}_{a^2}-\underbrace{\left(u+\frac{Ze^2}{mv_0^2b^2}\right)^2}_{x^2}} $$
ここで $$ \int\frac{dx}{\sqrt{a^2-x^2}}=-\arccos\frac{x}{a}+\kappa $$ を使うと
$$ \theta = \pm\arccos\frac{u+\frac{Ze^2}{mv_0^2b^2}}{\sqrt{\frac{1}{b^2}+\frac{Z^2e^4}{m^2v_0^4b^4}}}+\kappa\;\;\;\;\;\;\;\;(\kappaは定数) $$
となります。
\(\kappa\)を求める
\(u\)は\(\theta = 0,\;\pi\)のとき\(u = 0\)なので\(\kappa\)を求めると $$ \begin{eqnarray} \begin{cases} \cos(\kappa) = \pm\frac{\frac{Ze^2}{mv_0^2b^2}}{\sqrt{\frac{1}{b^2}+\frac{Z^2e^4}{m^2v_0^4b^4}}}\\ \cos(\pi-\kappa) = \pm\frac{\frac{Ze^2}{mv_0^2b^2}}{\sqrt{\frac{1}{b^2}+\frac{Z^2e^4}{m^2v_0^4b^4}}} \end{cases} \end{eqnarray} $$ より、 $$ \kappa = \pi -\kappa $$ $$ \kappa = \frac{\pi}{2} $$ となります。
散乱角を求める
散乱角\(\psi\)を求めると、
\(\theta =\psi\)のとき\(u = 0\)より、 $$ \cos(\psi – \frac{\pi}{2}) = \sin(\psi)= \pm\frac{\frac{Ze^2}{mv_0^2b^2}}{\sqrt{\frac{1}{b^2}+\frac{Z^2e^4}{m^2v_0^4b^4}}} $$ 散乱角はこれを満たす\(\psi\)となります。
