【ラグランジアン】回転系からみたときの物体の運動

今回は回転系から見たときの物体の運動を求めていきたいと思います。

特に回転系の運動で出てくるコリオリ力と遠心力を求めていきたいと思います。

回転系の運動

回転系の運動

図

慣性系$XYZ$の平面において、ポテンシャル$U=\frac{1}{2}m\omega_{0}^2(X^2+Y^2)$内を動く質点$m$があります。

この質点を回転系$xyz$からみたときの運動を見てみましょう。ただし、この回転系は慣性系と原点を共有し、角速度$\omega$で動いています。

回転系の速度ベクトル

ではやっていきましょう。

回転系は慣性系に対して角速度$\omega= \left( \begin{array}{c} 0 \\ 0 \\ \omega \end{array} \right) $で回転しています。

なので、「回転系から観測した質点の速度」と「慣性系から観測した質点の速度」は違って見えます。すなわち、

$$
V_{慣性系での速度} = v_{回転系での速度} + v’_{座標の回転速度}
$$

となります。

座標の回転速度を考慮しなくてはいけません。これを考えていきます。

ここで、角運動の公式

$$
v = \omega\times r
$$

を用いて、位置$r$における座標の回転の速度は

$$
v’_{座標の回転速度}　= \omega \times r
$$

となります。

よって、慣性系での速度$V$は回転系での速度$v$を使って

$$
V = v + \omega\times r \tag{1}
$$

と表せます。

ラグランジアン

ここでラグランジアンを回転系での位置$xy$を用いて考えます。

ラグランジアン$L$は運動エネルギー$T$とポテンシャル$U$によって決まるので、これらを求めていきます。

運動エネルギー

運動エネルギーは先ほどの(1)式と$r= \left( \begin{array}{c} x \\ y \\ \ 0 \end{array} \right) ,\omega = \left( \begin{array}{c} 0 \\ 0 \\ \omega \end{array} \right) $を用いて、

$$
\begin{eqnarray}
T &=& \frac{1}{2}mV^2\\
&=&\frac{1}{2}m(v + \omega\times r)^2 \\
&=& \frac{1}{2}m\left\{ \left( \begin{array}{c} {\dot x} \\ {\dot y} \\ 0 \end{array} \right) + \left( \begin{array}{c} y\omega \\ -x\omega \\ \ 0 \end{array} \right) \right\}^2
\end{eqnarray}\tag{2}
$$

となります。

ポテンシャル

ポテンシャルは

$$
\begin{cases}
X = x\sin\omega t + y\cos\omega t\\
Y = x\cos\omega t – y\sin\omega t
\end{cases}
$$

なので、慣性系でのポテンシャル$ U=\frac{1}{2}m\omega_{0}^2(X^2+Y^2) $に代入すると

$$
\begin{eqnarray}
U &=& \frac{1}{2}m\omega_{0}^2\{( x\sin\omega t + y\cos\omega t )^2+( x\cos\omega t – y\sin\omega t )^2\} \\
&=& \frac{1}{2}m\omega_{0}^2(x^2+y^2)
\end{eqnarray}\tag{3}
$$

となります。

(2),(3)式から、

$$
L = T-U= \frac{1}{2}m\left\{ \left( \begin{array}{c} {\dot x} \\ {\dot y} \\ 0 \end{array} \right) + \left( \begin{array}{c} y\omega \\ -x\omega \\ \ 0 \end{array} \right) \right\}^2 – \frac{1}{2}m\omega_{0}^2(x^2+y^2) \tag{4}
$$

となります。