【力学】斜面を転がっていく剛体

今回は斜面を転がっていく剛体について解説していきたいと思います。

前に「【慣性モーメント】円柱が段差を乗り上げる条件」を紹介しましたが、こちらを参考にしていただけるとより、深く剛体が理解できるかと思います。

斜面を転がる剛体

図

質量\(m\)、半径\(a\)の球が角度\(\theta\)の斜面を角速度\(\omega\)で転がっていく運動を考えます。

球は斜面を滑らず転がるとします。

運動方程式

ではまず、球に働く摩擦力\(f\)と、加速度\(\alpha\)を求めていきましょう。

斜面方向の運動方程式を考えると、

$$
m\alpha = mg\sin\theta -f\tag{1}
$$

このとき、\(v\)は球の転がる速度です。

回転の運動方程式

次に重心まわりの回転の運動方程式を立てます。

重心まわりのトルク\({\bf N}\)の大きさは\(N=fa\)と書けるので

球の慣性モーメントを\(I=\frac{2}{5}ma^2\)とすると、

$$
I\frac{d\omega}{dt} = fa\tag{2}
$$

となります。

\(\alpha\)と\(\omega\)の関係式

ここで、

$$
\omega = \frac{v}{a}\tag{3}
$$

より、(3)式を\(t\)で微分すると

$$
\frac{d\omega}{dt}= \frac{1}{a}\frac{dv}{dt}=\frac{\alpha}{a}\tag{4}
$$

となります。

\(\alpha\)と\(f\)

(4)式を(2)式に代入すると、

$$
I \frac{\alpha}{a} = fa
$$

より、\(I = \frac{2}{5}ma^2\)だから、

$$
f = \frac{2}{5}m\alpha\tag{5}
$$

となります。

\(\alpha\)を求める

さらにこれを(1)式に代入すると

$$
m\alpha = mg\sin\theta – \frac{2}{5}m\alpha
$$

これを変形すると、

$$
\alpha = \frac{5}{7}g\sin\theta\tag{6}
$$

となります。

\(f\)を求める

また、(6)式を(5)式へ代入すると

$$
f = \frac{2}{7}mg\sin\theta\tag{7}
$$

となります。

これで、加速度\(\alpha\)と、摩擦力\(f\)が求まりました。

力学的エネルギーを考える

ここで終わってもいいですが、せっかくなので「力学的エネルギーの保存」を使って、球が斜面を転がる速さ\(v\)を求めてみましょう。

時刻\(t=0\)のとき、\(v=0,　\omega = 0\)とし、斜面を落差\(h\)だけ落ちたときの速さ\(v\)を考えます。

このとき 転がる前と後の力学的エネルギーは

$$
\underbrace{mgh}_{転がる前} = \underbrace{\frac{1}{2}mv^2 + \frac{1}{2}I\omega^2}_{転がった後}\tag{8}
$$

となります。

$$
\begin{cases}
I = \frac{2}{5}ma^2\\
\omega = \frac{v}{a}
\end{cases}
$$

の関係から、(8)式に代入すると

$$
mgh = \frac{1}{2}m^2 + \frac{1}{5}mv^2
$$

これを変形して

$$
v = \sqrt{\frac{10}{7}gh}\tag{9}
$$

となります。