【力学】半円面上を転がる球の運動を求めてみた！

今回は半球面の上を転がる球の運動を解説していきたいと思います。

球体の上を球体が転がっているので難しく感じるかもしれませんが、じっくりやっていきましょう。

半球面の上を転がる球の運動
【最後に】東大院試の過去問つくりました！！

半球面の上を転がる球の運動

質点の場合

まず、質点が半円上を転がる場合を考えてみましょう。（質点が転がるか分かりませんが…）

以下のような状況を考えます。

半球の半径は$a$ 、半球の頂上から速度$0$で球体を転がしたときの運動を考えます。

質点の速さ

質点が$\theta$の位置に来たときの質点の速さ$v$を求めます。

力学的エネルギー保存則から

$$
mga = mga\cos\theta + \frac{1}{2}mv^2
$$

なので

$$
v = \sqrt{2ga(1-\cos\theta)}
$$

となります。

質点が球を離れる条件

次に質点が球を離れる条件を求めます。

（正直、今回の話と関係ないので書こうか迷ったのですが「質点が半球面を離れる条件」は割と頻出、かつ、そんなに難しくないので、おまけとして書いておきます。）

ある$\theta$に質点が差し掛かると半球面から離れてしまいます。

このときの$\cos\theta$を求めます。

半球面から離れるとき、質点には「遠心力」と「（動径方向の）重力」が働いています。

これらが釣り合う瞬間に球面から離れます。

これを式に直すと

\begin{eqnarray}
mg\cos\theta &=& m\frac{v^2}{a}\\
&=& 2mg(1-\cos\theta)
\end{eqnarray}

となります。

よって

$$
\cos\theta = \frac{2}{3}
$$

となります。

剛体球の場合

ようやく本題です。

以下のような状況を考えます。

半球の半径は$a$、球体の半径は$b$、質量は$m$として角速度$\omega$で回転しながら転がっています。

半球の頂上から速度$0$で球体を転がしたときの運動を考えます。

球の重心の速さ

では図のように$\theta$の位置に球が来たときの重心の速さ$v$を求めてみましょう。

これは力学的エネルギー保存の法則を使って、

\begin{eqnarray}
mg(a+b) &=& mg(a+b)\cos\theta + \frac{1}{2}mv^2 + \frac{1}{2}I\omega^2\\
&=& mg(a+b)\cos\theta + \frac{1}{2}mv^2 + \frac{1}{2}\frac{2}{5}mb^2\left(\frac{v}{b}\right)^2\\
&=& mg(a+b)\cos\theta + \frac{7}{10}mv^2\\ \tag{1}
\end{eqnarray}

となります。

ただし、球の慣性モーメント

$$
I = \frac{2}{5}mb^2
$$

重心の速さと角速度の関係

$$
v= b\omega
$$

を使いました。

(1)式を解くと

$$
v = \sqrt{\frac{10}{7}(a+b)(1-\cos\theta)g}
$$

となります。