今回は逆格子の基本単位胞の体積\(V_{逆}\)と実格子の基本単位胞の体積\(V_実\)の関係
$$
V_逆=\frac{(2\pi)^3}{V_実}
$$
を示したいと思います。
固体物理学をやる上で、逆格子と実格子の関係は非常に大切なのでしっかり押さえておきましょう！！
逆格子と実格子の体積の関係
基本並進ベクトル
\(\bf a_1,a_2,a_3\)を実格子の基本並進ベクトルとします。
このとき、逆格子の基本並進ベクトルはどのように決められているのでしょうか。
以下の関係を満たす\(\bf b_1,b_2,b_3\)を逆格子の基本並進ベクトルとします。
$$
{\bf b_j\cdot a_i }= 2\pi\delta_{ji} (i,j = 1,2,3 )\tag{1}
$$
ただし、\(\delta_{ji}\)はクロネッカーのデルタです。
\(\bf b_j\)を\(\bf a_i\)で書く
（天下り的ですが）具体的に\(\bf b_j\)がどんな形をしているのかを書いておきます。
例えば、\(j=1\)のとき、逆格子の基本並進ベクトル\(\bf b_1\)を実格子の基本並進ベクトル\(\bf a_i\)で書くと
$$
{\bf b_1} = 2\pi\frac{\bf a_2\times a_3}{\bf a_1\cdot(a_2 \times a_3)}\tag{2}
$$
と書けることが分かっています。
実際に(1)式の\(j=1\)の場合に(2)代入すると、
\(i=1のとき\)
$$
\begin{eqnarray}
{\bf b_1}\cdot{\bf a_1} &=& 2\pi\frac{\bf a_2\times a_3}{\bf a_1\cdot(a_2 \times a_3)}\cdot \bf a_1 \\
&=& 2\pi\frac{\bf a_1\cdot(\bf a_2\times a_3)}{\bf a_1\cdot(a_2 \times a_3)} (\bf A \cdot B = B \cdot A を使った)\\
&=& 2\pi
\end{eqnarray}
$$
また、\(i = 2\)のとき
$$
\begin{eqnarray}
{\bf b_1}\cdot{\bf a_2} &=& 2\pi\frac{\bf a_2\times a_3}{\bf a_1\cdot(a_2 \times a_3)}\cdot \bf a_2 \\
&=& 2\pi\frac{\bf a_2\cdot(\bf a_2\times a_3)}{\bf a_1\cdot(a_2 \times a_3)} \\
&=& 0 (\bf A \cdot (A \times B) = B \cdot (A\times A)=0 を使った)
\end{eqnarray}
$$
\(i=3\)のときも同様に０なので
$$
{\bf b_1\cdot a_i }= 2\pi\delta_{1i} (i = 1,2,3 )
$$
を満たします。
このことから、 (2)式は逆格子の基本並進ベクトルの性質を満たしているといえます。
(2)式と同じように\(\bf b_2,b_3\)を表すと
$$
{\bf b_2} = 2\pi\frac{\bf a_3\times a_1}{\bf a_2\cdot(a_3 \times a_1)}\tag{3}
$$
$$
{\bf b_3} = 2\pi\frac{\bf a_1\times a_2}{\bf a_3\cdot(a_1 \times a_2)}\tag{4}
$$
となります。
本題
では本題の「逆格子と実格子の（基本単位胞の）体積の関係」について説明していこうと思います。
逆格子の体積\(V_逆\)は\(\bf b_1,b_2,b_3\)の作る平行六面体の体積と同じなので
$$
V_逆 = \bf b_1 \cdot (b_2 \times b_3) = \bf b_2 \cdot (b_3 \times b_1) = \bf b_3 \cdot (b_1 \times b_2) \tag{5}
$$
となります。
同じように、
実格子の体積\(V_実\)は\(\bf a_1,a_2,a_3\)の作る平行六面体の体積と同じなので
$$
V_実 = \bf a_1 \cdot (a_2 \times a_3) = \bf a_2 \cdot (a_3 \times a_1) = \bf a_3 \cdot (a_1 \times a_2) \tag{6}
$$
となります。
\(\bf b_j\)を変形
では(6)式を使って(2),(3),(4)式を変形していきましょう。
(2),(3),(4)式の分母をよく見ると\(V_実\)になっていることが分かるので
$$
\begin{cases}
{\bf b_1} = 2\pi\frac{\bf a_2\times a_3}{V_実}\\
{\bf b_2} = 2\pi\frac{\bf a_3\times a_1}{V_実} \\
{\bf b_3} = 2\pi\frac{\bf a_1\times a_2}{V_実}
\end{cases}\tag{7}
$$
となります。
\(V_逆\)に代入
\(V_逆\)に(7)式を代入していきます。
$$
\begin{eqnarray}
V_逆 &=& \bf b_1 \cdot (b_2 \times b_3) \\
&=& 2\pi\frac{\bf a_2\times a_3}{V_実} \cdot \left( 2\pi\frac{\bf a_3\times a_1}{V_実} \times 2\pi\frac{\bf a_1\times a_2}{V_実} \right) \\
&=& \left(\frac{2\pi}{V_実}\right)^3 (\bf a_2\times a_3) \cdot \left\{ (\bf a_3\times a_1 )\times (\bf a_1\times a_2) \right\} \\
&=& \left(\frac{2\pi}{V_実}\right)^3( \bf a_2\times a_3 )\cdot \{\underbrace{\bf a_3 \cdot (a_1\times a_2)}_{V_実}a_1\} ここで、(\bf B\times A)\times (\bf A\times C) = [\bf B \cdot (A \times C)]\bf Aを使った\\
&=& \left(\frac{2\pi}{V_実}\right)^3( {\bf a_2\times a_3} )\cdot \{ V_実 {\bf a_1}\} \\
&=& \frac{(2\pi)^3}{V_実^2}\underbrace{( \bf a_2\times a_3 )\cdot \{\bf a_1\}}_{V_実} \\
&=& \frac{(2\pi)^3}{V_実}
\end{eqnarray}
$$
となります。
よって、 逆格子と実格子の（基本単位胞の）体積には
$$
V_逆=\frac{(2\pi)^3}{V_実}
$$
の関係があることが示せました。
