今回は「準定常電流」について解説したいと思います。
準定常電流とはその名の通り、時間的な変化が速くない電流のことです。
この準定常状態になるための条件は
$$
\frac{\epsilon \omega}{\sigma} << 1
$$
となっています。
今回はなぜこのような式になるのか証明していきたいと思います。
準定常電流
方針
この条件を導くためには
- マクスウェル方程式を変形
- 近似を行う
の2ステップでやっていきます。
マクスウェル方程式を変形
マクスウェル方程式の一つ
$$
\nabla \times {\bf H} = {\bf J} + \frac{\partial {\bf D}}{\partial t}
$$
を使っていきます。
これの左から\(\nabla\)をかけていきます。
すると
\begin{eqnarray}
\nabla \cdot (\nabla \times {\bf H}) &=& \nabla \cdot \left({\bf J} + \frac{\partial {\bf D}}{\partial t} \right)
\end{eqnarray}
ここで
$$
\nabla \cdot (\nabla \times {\bf H}) = 0
$$
が成り立つので
$$
\nabla \cdot \left({\bf J} + \frac{\partial {\bf D}}{\partial t}\right) = 0
$$
が言えます。
準定常電流の定義
ここで準定常電流の定義を確認しておきましょう。
そもそも定常電流とは
$$
\nabla \cdot {\bf J} = 0
$$
という条件を満たすもので、電流が時間変化を起こさない状態を表します。
例えば回路に電気を流して長い時間たつと最初は不安定だった電流が安定していくことがあると思います。
この安定した状態（電流）が定常電流というものです。
しかし、現実の世界では完全に安定して、まったく時間変化を起こさない状態はありえないですね。
時間変化しないように見えても実は見えないくらいの大きさで変位してしまいます。
そして、この時間変化がほとんどないとみなせるようなものが準定常電流です。
近似を行う
先ほど、マクスウェル方程式を変形していくと
$$
\nabla \cdot \left( {\bf J} + \frac{\partial {\bf D}}{\partial t}\right )= 0
$$
が言えることが分かりました。
ここで、
$$
\nabla \cdot {\bf J} = 0
$$
ならば定常電流ですが、
完全に\( \frac{\partial {\bf D}}{\partial t} = 0\)とすることはできません。（どうしても時間変化してしまうので）
そこで
$$
\nabla \cdot \left( {\bf J} + \frac{\partial {\bf D}}{\partial t} \right )= 0
$$
$$
\nabla \cdot \left( {\bf J}\left( 1 + \frac{\partial {\bf D}}{\partial t} \frac{1}{ {\bf J}} \right) \right) = 0
$$
と変形してみます。
ここで、
$$
\frac{\partial {\bf D}}{\partial t} \frac{1}{ {\bf J}} << 1
$$
ならば近似的に
$$
\nabla \cdot {\bf J}\sim 0
$$
が成り立ち、ほぼ定常電流の式を満たすことが分かります。（準定常電流）
つまり、
$$
\frac{\partial {\bf D}}{\partial t} \frac{1}{ {\bf J}}<< 1
$$
が準定常電流の条件です。
計算していく
あとは計算です。
\begin{cases}
{\bf D} = \epsilon {\bf E}\\
{\bf J} = \sigma {\bf E}
\end{cases}
であり、（\(\epsilon\)は誘電率、\(\sigma\)は電気伝導率）さらに
$$
{\bf E} = {\bf E_0} e^{i\omega t}
$$
という条件を課すと、先ほどの条件式は
\begin{eqnarray}
\frac{\partial {\bf D}}{\partial t} \frac{1}{ {\bf J}} &=& (i\omega\epsilon){\bf E_0}e^{i\omega t}\frac{1}{\sigma {\bf E_0} e^{i\omega t}}\\
&=& \frac{i\omega \epsilon}{\sigma}
\end{eqnarray}
よってこれの絶対値を取ると
$$
\frac{\epsilon \omega}{\sigma} << 1
$$
となり、準定常電流の条件が求められます。
参考
今回はこちらの本を参考にさせていただきました。ぜひチェックしてみてください。
