pythonでセンター試験解いてみた～その1～

こんにちは

今回は平成31年度のセンター試験（数学）を解いていきたいと思います。

pythonで計算ができるということは知っていたのですが、今まで苦手意識があって手をだしていませんでした。

しかし、いつまでもそんなこと言ってられないなと思い、今回いよいよ数学関連のモジュールに触れてみることにいたしました。

使ってみると予想通り大変でしたが、いい勉強になりました！！いまだ苦戦中ですが、とりあえずできたところだけ紹介していきたいと思います。

準備
センター試験解いてみよう！！
参考

準備

ぼくがセンター試験を解くに当たり準備したものは

センター試験過去問（平成31年版）
jupyternotebook

の二つです。

jupyternotebookの導入や使い方についてはこちらを参照ください。

センター試験解いてみよう！！

解く問題

解く問題は平成31年の数１Aにある第一問の（３）です。（なぜ（３）からなのかは触れないでください…ゆくゆくは（１）からやっていきたいと思います。）

ここからは問題文を引用いたします。

$a$と$b$はともに正の実数で$$y=x^2+(2a-b)x+a^2+1$$のグラフを$G$とする。
(1)グラフ$G$の頂点は$$\left(\frac{b}{[チ]}-a,-\frac{b^2}{[ツ]}+ab+[テ]\right)である。$$
(2)グラフ$G$点(-1,6)を通るとき、$b$の取りえる値の最大値は[ト]であり、そのときの$a$の値は[ナ]である。
$b$=[ト],$a$=[ナ]のとき、グラフ$G$は二次関数$$y=x^2$$のグラフをx軸方向に$\frac{[二]}{[ヌ]}$,y軸方向に$\frac{[ネノ]}{[ハ]}$だけ平行移動したものである。

モジュールのインストール

(1)グラフ$G$の頂点は$$\left(\frac{b}{[チ]}-a,-\frac{b^2}{[ツ]}+ab+[テ]\right)である。$$

これを解いていきます。

まずsympyというモジュールをインストールしていきます。sympyとはMathmaticaのような計算がpythonでもできるようにしたものです。sympyを使ってsolve関数とEq関数もインストールします。solveは方程式を解く関数で、Eqは方程式を立てる関数です。

最後に変数を定義します。今回は　x,h,k,a,b　という変数を定義しました。

import sympy
from sympy import Eq 
from sympy import solve
x,h,k,a,b = sympy.symbols("x h k a b")

これですべての準備が整いました。

平方完成

では、ここから実際に問題を解いていきます。頂点の座標を求めるには

グラフGと$(x-h)^2+k$を等しいとおいてh,kを求めればいいですね。（平方完成）

これをpythonで書くと

def exp1(x):
    return x**2+(2*a-b)*x+a**2+1
f = (x - h)**2+k

exp2 = solve(exp1(x) - f,[h,k])#平方完成
h = exp2[0][0]
k= exp2[0][1]#h,kが求まった

print("h = {} ".format(h))
print("k = {} ".format(k))

説明をすると

def exp1(x):
    return x**2+(2*a-b)*x+a**2+1

でグラフGを定義して

exp2 = solve(Eq(exp1(x),f),[h,k])

で方程式 $$x^2+(2a-b)x+a^2+1=(x-h)^2+k$$ をh,kについて解いています。

出力は

h = -a + b/2 
k = a*b - b**2/4 + 1

となり、 $$\left(\frac{b}{[2]}-a,-\frac{b^2}{[4]}+ab+[1]\right)$$ で答えに一致しました！！

最大値の計算

(2)グラフ$G$点(-1,6)を通るとき、$b$の取りえる値の最大値は[ト]であり、そのときの$a$の値は[ナ]である。$b$=[ト],$a$=[ナ]のとき、グラフ$G$は二次関数$$y=x^2$$のグラフをx軸方向に$\frac{[二]}{[ヌ]}$,y軸方向に$\frac{[ネノ]}{[ハ]}$だけ平行移動したものである。

次にこの問題を解いていきます。最大値の問題ですが、（-1,6）をグラフGに代入し、bの関数から最大値を読み取ります。

f = (x - h)**2+k
g = f.subs([(x, -1)])
eq3 = Eq(g,6)
print(sympy.solve(eq3,b))

pythonで書くとこうなります。

g = f.subs([(x, -1)])

で.subs関数で$x=-1$を代入し、

sympy.solve(eq3,b)

で$$-6=(-1)^2+(2a-b)(-1)+a^2+1$$ をbについて解いています。

出力は

[-(a - 1)**2 + 5]

となりこの式は2次関数なので、bの最大値は5でそのときのaは1であることが分かります。

$a$の値は[ナ]である。$b$=[ト],$a$=[ナ]のとき、グラフ$G$は二次関数$$y=x^2$$のグラフをx軸方向に$\frac{[二]}{[ヌ]}$,y軸方向に$\frac{[ネノ]}{[ハ]}$だけ平行移動したものである。

これはa=1,b=5を代入すれば答えが出て、

x軸方向に$\frac{[3]}{[2]}$,y軸方向に$\frac{[-1]}{[4]}$が答えになります。

ここまでのコードを載せておきます。

import sympy
import numpy as np
from sympy import Eq 
from sympy import solve
x,h,k,a,b = sympy.symbols("x h k a b")

def exp1(x):
    return x**2+(2*a-b)*x+a**2+1

f = (x - h)**2+k

exp2 = solve(Eq(exp1(x),f),[h,k])#平方完成
h = exp2[0][0]
k= exp2[0][1]#h,kが求まった

print("h = {} ".format(h))
print("k = {} ".format(k))

f = (x - h)**2+k

g = f.subs([(x, -1)])
eq3 = Eq(g,6)
print(sympy.solve(eq3,b))