今回はポアソン方程式のグリーン関数を導出してみたいと思います。
グリーン関数は解きたい方程式によって形が変わるので、多くの種類があります。
例えば以前、「ダランベール方程式のグリーン関数を導出」でダランベール方程式のグリーン関数を求めました。
今回はポアソン方程式のグリーン関数
$$
G({\bf r,r’})=\frac{1}{4\pi}\frac{1}{|{\bf r-r’}|}
$$
を求めていきたいと思います。
この関数は、その名の通りポアソン方程式
$$
\nabla^2 \phi({\bf r}) = -\frac{\rho}{\epsilon_0}
$$
の解を求めるためのものになります。
ポアソン方程式のグリーン関数
体積積分
ではやっていきましょう。
今回は原点が中心の半径\(R\)の球の体積\(V\)について
$$
\nabla \cdot \left(\frac{{\bf r}}{r^3}\right)\tag{1}
$$
を体積積分します。
ガウスの定理
(1)式を体積積分して、ガウスの定理を適用すると
$$
\begin{eqnarray}
\int_{V} \nabla \cdot \left(\frac{{\bf r}}{r^3}\right) dV &=& \int_{S} \frac{{\bf r}}{r^3} \cdot d{\bf S}\\
&=& \int_{S} \frac{r}{r^3} dS\\
&=& \int_{S} \frac{1}{r^2} dS
\end{eqnarray}\tag{2}
$$
となります。（ \({\bf r} と d{\bf S}の方向は同じなので {\bf r} \cdot d{\bf S} = rdS \)）
面積要素
ここで、考えている球表面の面積要素\(dS\)は三次元極座標のヤコビアンを計算すると
$$
dS = R^2\sin\theta d\theta d\phi\tag{3}
$$
となります。（球表面なのでr=Rで一定）
これを(2)式に代入すると
$$
\begin{eqnarray}
\int_{V} \nabla \cdot \left(\frac{{\bf r}}{r^3}\right) dV
&=& \int_{S} \frac{1}{r^2} dS \\
&=& \int_{S} \frac{1}{R^2} R^2\sin\theta d\theta d\phi \\
&=& 4\pi
\end{eqnarray}\tag{4}
$$
となります。
デルタ関数
(4)式を満たすのは
$$
\nabla \cdot \left(\frac{{\bf r}}{r^3}\right) = 4\pi\delta({\bf r})\tag{5}
$$
となります。
ここで、(5)式を\({\bf r\to r-r’}\)とすると
$$
\frac{1}{4\pi}\nabla\cdot \left(\frac{{\bf r-r’}}{|{\bf r-r’}|^3}\right) = \delta({\bf r-r’})\tag{6}
$$
となります。
さらに
$$
\nabla \left(\frac{1}{|\bf r-r’|}\right) = -\frac{\bf r-r’}{|\bf r-r’|^3}\tag{7}
$$
が成り立つのでこれを代入すると(6)式は
$$
\begin{eqnarray}
\delta({\bf r-r’}) &=&-\frac{1}{4\pi}\nabla^2\cdot \left( \nabla \left(\frac{1}{|\bf r-r’|}\right) \right)\\
&=& -\frac{1}{4\pi}\nabla^2\left(\frac{1}{|{\bf r-r’}|}\right)
\end{eqnarray}\tag{8}
$$
と変形できます。
グリーン関数
ここでポアソン方程式のグリーン関数の定義として
$$
\nabla^2G(\bf r,r’) = -\delta(\bf r-r’)\tag{9}
$$
となっているので(8),(9)式を見比べると
$$
G(\bf r,r’) = \frac{1}{4\pi}\frac{1}{|\bf r-r’|}\tag{10}
$$
となります。これがポアソン方程式のグリーン関数となります。
ポアソン方程式の解
では実際に\(G(\bf r,r’)\)でポアソン方程式の解を表せるのかを確かめていきたいと思います。
ポアソン方程式の解を
$$
\phi = \int\frac{\rho(\bf r’)}{\epsilon_0}G(\bf r,r’)d\bf r’\tag{11}
$$
とおきます。
(11)式の両辺に\(\nabla^2\)を作用させると
$$
\begin{eqnarray}
\nabla^2\phi &=& \nabla^2\int \frac{\rho(\bf r’)}{\epsilon_0}G(\bf r,r’)d\bf r’\\
&=& \int \frac{\rho(\bf r’)}{\epsilon_0}\nabla^2G(\bf r,r’)d\bf r’\\
&=& \int \frac{\rho(\bf r’)}{\epsilon_0}\delta(r-r’)d\bf r’\\
&=& -\frac{\rho(\bf r)}{\epsilon_0}
\end{eqnarray}
$$
となります。これはポアソン方程式を表しています。
よってグリーン関数で表した(11)式はポアソン方程式の解になっていることが確認できました！！
