【電磁気】ポアソン方程式を用いて静電ポテンシャルを求めてみた!!

物理

今回は球対称の静電ポテンシャルを求めていきたいと思います。

球対称のポテンシャルというのは、球の中心からの距離\(r\)のみに依存するポテンシャルのことです。

このような場合を考えたときに、ポアソン方程式を解いてポテンシャルを求めていきます。

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ポアソン方程式を解く

まず、ラプラス方程式の一般解を求めます。

三次元極座標のラプラス方程式

ラプラス方程式は

$$
\nabla^2\phi(r) = 0
$$

と書かれます。

今は球体を考えているので\(\nabla^2\)を三次元極座標に変換します。

すると、ラプラス方程式は

$$
\nabla^2\phi(r) = \frac{1}{r^2}\frac{d}{dr}\left(r^2\frac{d\phi}{dr}\right)=0\tag{1}
$$

と変形できます。

(\(\phi = \phi(r)\)は球対称なので角度方向には依存せず、(1)式のように\(r\)に関係するところだけ残る。)

まずはこの一般解を求めていきましょう。

一般解

(1)式より、両辺を\(r\)で積分すると

$$
r^2\frac{d\phi}{dr} = C_{0} (C_{0}は定数)
$$

となります。

もう一度\(r\)で積分すると

$$
\phi = -\frac{C_{0}}{r}+C_1 (C_{1}は定数)\tag{2}
$$

となります。これが一般解です。

次に境界条件からポアソン方程式を解いて定数を決めていきます。

境界条件

境界条件として

「原点を中心とする半径\(R\)の球内に電荷\(Q\)が全体に一様に分布している」

ということを課します。

なので、電荷密度\(\rho\)は

$$
\rho = \begin{cases}\frac{3Q}{4\pi R^3} (球の内部:r<R)\\0 (球の外:r>R)\end{cases}\tag{3}
$$

となります。

ポアソン方程式

ではポアソン方程式を解いていきましょう。

ポアソン方程式は

$$
\nabla^2 \phi = -\frac{\rho}{\epsilon_{0}}\tag{4}
$$

と書かれます。

(4)式に(3)式を代入します。

\(\rho = 0\)のとき

\(\rho = 0\)のとき、つまり球の外\((r>R)\)で、(4)式は

$$
\nabla^2 \phi = 0
$$

となり、ラプラス方程式に一致します。よって一般解は

$$
\phi = -\frac{C_0}{r}+C_1\tag{5}
$$

でした。

\(\rho = \frac{3Q}{4\pi R^3}\)のとき

\(\rho = \frac{3Q}{4\pi R^3}\)のとき、つまり球の内部\((0<r<R)\)で(4)式は

$$
\frac{1}{r^2}\frac{d}{dr}\left(r^2\frac{d\phi}{dr}\right)=- \frac{3Q}{4\pi \epsilon_0 R^3}\tag{6}
$$

となります。先ほどと同様に(6)式も2回\(r\)で積分すると

$$
\phi = -\frac{Q}{8\pi\epsilon_0R^3}r^3 – \frac{C_2}{r} + C_3\tag{7} (C_2,C_3は定数)
$$

となります。

無限遠・\(r=0\)でのポテンシャル

無限遠

では境界条件を考える前に、無限遠と\(r=0\)でのポテンシャルを考えます。

まず、無限遠ではポテンシャル\(\phi\)が0とします。

このとき\(r>R\)なので、(5)式から、

$$
\phi = 0+C_1 = 0
$$

なので、\(C_1=0\)となります。

\(r=0\)

\(r=0\)のとき、ポテンシャル\(\phi\)が発散しないためには

このとき\(r<R\)なので、 (7)式から

$$
\phi = 0 – \frac{C_2}{0} + C_3
$$

より、

$$
C_2 = 0
$$

ならば\(\phi\)が発散しないことが分かります。

境界条件を考える

球の境界では

  1. ポテンシャル\(\phi\)は等しい
  2. \(r\)微分が等しい

という条件があるので、\(C_1=0,C_2=0\)を考慮して

$$
\begin{cases}
\frac{Q}{8\pi\epsilon_0R}+C_3 = -\frac{C_0}{R} (1の条件)\\
-\frac{Q}{4\pi\epsilon_0R^2}=\frac{C_0}{R^2} (2の条件)
\end{cases}
$$

となります。

これを解くと

$$
\begin{cases}
C_0 = -\frac{Q}{4\pi\epsilon_0}\\
C_3 = \frac{3Q}{8\pi\epsilon_0R}
\end{cases}
$$

となります。

これから、ポテンシャル\(\phi\)は

$$
\phi = \begin{cases}-\frac{Q}{8\pi\epsilon_0R^3}r^2+\frac{3Q}{8\pi\epsilon_0R} (0<r<R)\\ \frac{Q}{4\pi\epsilon_0r}(R<r)\end{cases}
$$

と求めることができました。

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