【磁気流体】プラズマの凍結について解説してみた！

こんにちは

今回は「プラズマの凍結」について解説したいと思います。

プラズマの凍結

概要だけいうと、プラズマの凍結とは磁力線がプラズマの運動と一緒に移動している状態です。

まるで命名者のアルベーンはこの状態をまるでプラズマと磁力線が氷漬けになっているようだと感じてこのように名付けたそうです。

磁束

上のような閉曲面\(S(t)\)を考え、そこを通過する磁束\(\Phi(t)\)を

$$
\Phi (t) = \int_{S(t)} {\bf B}(x,t) ・d{\bf S}
$$

とします。

閉曲面（プラズマ）の移動

さらに時間が\(\delta t\)だけ変化し、上の図のように\(S(t)\)がプラズマの速度\(v\)で移動し、\(S(t+\delta t)\)となったと考えます。

このときの磁束\(\Phi(t+\delta t)\)を考えます。

ところで、マクスウェル方程式より

$$
\nabla ・{\bf B} = 0
$$

なのでこれを上で示した図形の体積\(V\)で積分すると

$$
\begin{eqnarray}
\int_V \nabla ・{\bf B}(x,t+\delta t) dV &=& \int_S {\bf B}(x,t+\delta t) ・d{\bf S}　（ガウスの定理）\\
&=& -\int_{S(t)} {\bf B}(x,t+\delta t) ・d{\bf S} + \int_{S_{側面}} {\bf B}(x,t+\delta t) ・d{\bf S} + \int_{S(t+\delta t)} {\bf B}(x,t+\delta t) ・d{\bf S}\\
&=& 0
\end{eqnarray}
$$

となります。（\(S(t)\)と\(S(t+\delta t)\)は正の向きが逆）よって磁束\(\Phi(t+\delta t)\)は

$$
\Phi(t+\delta t) \left(= \int_{S(t+\delta t)} {\bf B}(x,t+\delta t) ・d{\bf S}\right) = \int_{S(t)} {\bf B}(x,t+\delta t) ・d{\bf S} – \int_{S_{側面}} {\bf B}(x,t+\delta t) ・d{\bf S}
$$

これをテイラー展開して二次の微小量を無視する。このとき、\(S_{側面}\)は微小量とすると

$$
\begin{eqnarray}
\Phi(t+\delta t) &=& \left[ \int_{S(t)} {\bf B}(x,t) ・d{\bf S} + \delta t \int_{S(t)} \frac{\partial }{\partial t} {\bf B}(x,t)・d{\bf S} \right]-\left[ \int_{S_{側面}} {\bf B}(x,t) ・d{\bf S} + \delta t \int_{S_{側面}} \frac{\partial }{\partial t} {\bf B}(x,t)・d{\bf S} \right]\\
&=& \Phi(t) – \int_{S_{側面}} {\bf B}(x,t) ・d{\bf S} + \delta t \int_{S(t)} \frac{\partial }{\partial t} {\bf B}(x,t)・d{\bf S}
\end{eqnarray}
$$

となる。

プラズマ運動に伴う磁束の保存

プラズマの運動を表した図を再掲する。

このとき図からわかるように\(S_{側面}\)は

$$
S_{側面} = d{\bf l} \times {\bf v}\delta t
$$

と表せる。よって閉曲線を\(L\)とすると

$$
\begin{eqnarray}
\int_{S_{側面}} {\bf B}(x,t) ・d{\bf S} &=& \int_{L} {\bf B}(x,t) ・d{\bf l} \times {\bf v}\delta t\\
&=& \delta t \int_{S(t)} \nabla \times ({\bf v} \times {\bf B(x,t)})・d{\bf S}　(ストークスの定理)
\end{eqnarray}
$$

よって磁束の時間変化は

$$
\begin{eqnarray}
\frac{d\Phi}{dt} &=& \lim_{\delta t \to 0} \frac{\Phi (t+\delta t)- \Phi (t)}{\delta t}\\
&=& \int_{S(t)} \left( \frac{\partial {\bf B}}{\partial t} – \nabla \times ({\bf v} \times {\bf B(x,t)})\right)・d{\bf S} = 0
\end{eqnarray}
$$

となり、磁束は保存する。（時間変化しない）

最後の変形では「【磁気流体】磁気流体の基本方程式を導出してみた！」で解説したようにファラデーの法則

$$
\frac{\partial {\bf B}}{\partial t} = \nabla \times ({\bf v} \times {\bf B(x,t)})
$$

を使った。

このように磁束はプラズマの運動に対しては保存することが分かった。これを「プラズマの凍結」という。