今回は、位相速度・群速度について解説したいと思います。
高校のころ波の「うねり」というものをやったと思いますが、そのうねりの進む速さが群速度、うねりを作っている波の速さを位相速度といいます。
今回は複素波（\(\exp(-i\omega t + ikx)\)というように三角関数を指数で表現したときの波）を用いて位相速度と群速度を求めていきたいと思います。
\(\omega_1 \sim \omega_2,\;\;k_1 \sim k_2\)のとき
波の状態
二つの波 $$ \exp(-i\omega_1t+ik_1x) \\ \exp(-i\omega_2t+ik_2x) $$ がぶつかったとき
つまり $$ \exp(-i\omega_1t+ik_1x) + \exp(-i\omega_2t+ik_2x) \tag{1} $$ を考えます。
位相速度・群速度
このとき、\(\omega_1 \sim \omega_2,\;\;k_1 \sim k_2\)の場合の群速度と位相速度を考えてみましょう。
\( \Delta \omega = \omega_2 – \omega_0 = \omega_0 – \omega_1,\;\;\Delta k = k_2 – k_0 = k_0 – k_1 \)と置きます。
これを(1)式に代入すると
$$ \exp(-i(\omega_0 – \Delta \omega)t+i(k_0 – \Delta k)x) + \exp(-i(\Delta \omega + \omega_0)t+i(\Delta k + k_0)x) $$ $$ \begin{eqnarray} &=&\exp(-i\omega_0t+ik_0x)[\exp(i(\Delta \omega t-\Delta kx))+\exp(-i(\Delta \omega t-\Delta kx)] \tag{2}\\ \end{eqnarray} $$ と変形できますね。
ここで、 $$ \frac{e^{i\theta}+e^{-i\theta}}{2} = \cos\theta $$ より(2)式は、
$$ \begin{eqnarray} (2) &=& \exp(-i\omega_0t+ik_0x) \times 2\cos(\Delta \omega t-\Delta kx) \\ &=& 2\underbrace{\exp(-i\omega_0t+ik_0x)}_{①}\underbrace{\cos(\Delta \omega t-\Delta kx)}_{②} \end{eqnarray} $$
となります。
波の速さと包絡線の速さ
このとき減衰振動の式を思い出すと、①が波の運動を②が包絡線の運動を示していることが類推できます。
波の速度は $$ v = \frac{\omega}{k} $$ で定義されているので、それを①に当てはめると波の運動、すなわち位相速度は
$$ \begin{eqnarray} v_p = \frac{\omega_0}{k_0} &=& \frac{\frac{\omega_1 +\omega_2}{2}}{\frac{k_1 + k_2}{2}} \\ &=& \frac{\omega_1 +\omega_2}{k_1 + k_2} \tag{3}\\ &=& \frac{\omega_1}{k_1} \left(= \frac{\omega_2}{k_2}\right)\tag{4} \end{eqnarray} $$ \(\left((3)から(4)へは、\omega_1 \sim \omega_2,\;\; k_1 \sim k_2を使った\right)\)
同様に②の包絡線の動く速さ、すなわち群速度は $$ \begin{eqnarray} v_g = \frac{\Delta \omega}{\Delta k} &=& \frac{\omega_2 – \omega_0}{k_2 – k_0}\\ &=& \frac{\omega_2 – \frac{\omega_1 +\omega_2}{2}}{k_2 – \frac{k_1 + k_2}{2}} \\ &=& \frac{\omega_2 – \omega_1}{k_2 – k_1} \end{eqnarray} $$ となります。
振動数\(\omega\)が波数\(k\)に依存する場合
波の状態
次は振動数\(\omega\)が波数\(k\)に依存する場合を考えていきましょう。
二つの波、 $$ \exp(-i\omega (k_1)t+ik_1x) \\ \exp(-i\omega (k_2)t+ik_2x) $$ がぶつかったとき
つまり $$ \exp(-i\omega (k_1)t+ik_1x) + \exp(-i\omega (k_2)t+ik_2x) \tag{5} $$ を考えます。
位相速度・群速度
このとき\(\Delta k = k_2 – k_0 = k_0 – k_1 \)と置きます。すると、
$$ \omega (k_1) = \omega (k_0-\Delta k) = \omega (k_0) + \frac{d\omega}{dk} \Delta k\\ \omega (k_2) = \omega (k_0 – (-\Delta k)) = \omega (k_0) + \frac{d\omega}{dk}(-\Delta k) $$ と置けます。
これを(5)に代入して整理すると、
$$ \exp(-i\omega(k_0)t + ik_0x)\left[\exp\left(-i\left(\frac{d\omega}{dk}\Delta kt+\Delta kx\right)\right)+\exp \left(i\left(\frac{d\omega}{dk}\Delta kt+\Delta kx\right)\right)\right] $$
$$ = 2\exp(-i\omega(k_0)t + ik_0x)\cos\left(\frac{d\omega}{dk}\Delta kt+\Delta kx\right) $$
よって位相速度は
$$ v_p = \frac{\omega(k_0)}{k_0} $$
群速度は
$$ v_g = \frac{\frac{d\omega}{dk}\Delta k}{\Delta k} = \frac{d\omega}{dk} $$
となります。
