今回は「ナイルの放物線」について解説したいと思います。
ナイルの放物線とは、地球上の高い場所から質点を落としたときに自転の影響により、ある方向へ偏って落下する現象です。
コリオリ力などと関連した現象なので、しっかり押さえておきましょう。
ナイルの放物線
緯度\(\alpha\)で、地上から高さ\(h\)のところから重さ\(m\)の質点を落とします。
このとき、初速度は０で、地球が角速度\(\omega\)で回転しています。
また、重力加速度\(g\)の働く方向と逆の方向にz軸、下図のようにx軸を取ります。
運動方程式
では、各方向の運動方程式を考えてみたいと思います。
上のような座標系（回転系）を考えると、働く力は
- コリオリ力
- 重力
の二つです。
ではまず、コリオリ力を求めていきたいと思います。
コリオリ力は
$$
f = -2m{\bf\omega \times v}\tag{1}
$$
で与えられます。
いま、\(\omega\)上図の方向に働いているので、
$$
\bf \omega = \begin{pmatrix} -\omega \cos\alpha \\ 0 \\ \omega \sin\alpha \end{pmatrix}
$$
$$
\bf v = \begin{pmatrix} \dot x \\ \dot y \\ \dot z \end{pmatrix}
$$
と考えられます。
よってコリオリ力は
\begin{eqnarray}
f &=& -2m{\bf\omega \times v}\\
&=& 2m \omega \begin{pmatrix} \dot y \sin\alpha \\ – ( \dot x \sin\alpha + \dot z \cos\alpha)\\ \dot y \cos\alpha \end{pmatrix}
\end{eqnarray}
となります。
これを運動方程式に当てはめると
\begin{cases}
m\ddot x = 2m\omega \dot y \sin\alpha\\
m\ddot y = -2m\omega ( \dot x \sin\alpha + \dot z \cos\alpha) \\
m\ddot z = -mg + 2m\omega \dot y \cos\alpha
\end{cases}
となります。
近似
上の式では遠心力は弱いつまり、\(\omega << 1\)なのでこれの二乗は省略しました。
同様の近似をして答えを求めていきます。
まず、\(\dot x,\dot y\)ですが、運動方程式を見ると\(\ddot x,\ddot y\)が\(\omega\)に比例するので積分すると \(\dot x,\dot y\) は\(\omega \)に比例することが分かります。
なので、\(\omega \dot x,\omega \dot y\)は省略できます。（二次の微小量なので）
よって運動方程式は
\begin{cases}
\ddot x = 0\\
\ddot y = -2\omega \dot z \cos\alpha \\
\ddot z = -g
\end{cases}
（\(\ddot z\)が\(-g\)の項を含むので\(\dot z\)は無視できない。）
積分
では得られた運動方程式を積分していきます。
初期値は
\begin{cases}
x = 0\\
y= 0\\
z = h
\end{cases}
\begin{cases}
\dot x = 0\\
\dot y= 0\\
\dot z = 0
\end{cases}
と考えられます。
まず、z軸方向を時間積分していくと
$$
\dot z = – gt
$$
$$
z = -\frac{1}{2}gt^2 + h\tag{2}
$$
となります。
また、y成分は
\begin{eqnarray}
\ddot y &=& -2\omega \dot z \cos\alpha \\
&=& 2\omega g \cos\alpha t
\end{eqnarray}
と変形できるのでy成分を積分すると
$$
y = \frac{1}{3}\omega g \cos\alpha t^3\tag{3}
$$
となります。
x方向も積分しますが
$$
x = 0
$$
が得られます。
ずれ
では(2)を(3)式に代入すると
$$
y = \frac{\omega \cos\alpha}{3} \sqrt{\frac{8(h-z)^3}{g}}
$$
となり、\(z=0\)の地点では
$$
y_0 = \frac{\omega \cos\alpha}{3} \sqrt{\frac{8h^3}{g}}
$$
となることが分かります。
これは地球の自転によって生じる落下位置のずれであり、このように質点が落ちていく軌道を「ナイルの放物線」といいます。
