【力学】ナイルの放物線を求めてみた!!

物理

今回は「ナイルの放物線」について解説したいと思います。

ナイルの放物線とは、地球上の高い場所から質点を落としたときに自転の影響により、ある方向へ偏って落下する現象です。

コリオリ力などと関連した現象なので、しっかり押さえておきましょう。

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ナイルの放物線

緯度\(\alpha\)で、地上から高さ\(h\)のところから重さ\(m\)の質点を落とします。

このとき、初速度は0で、地球が角速度\(\omega\)で回転しています。

また、重力加速度\(g\)の働く方向と逆の方向にz軸、下図のようにx軸を取ります。

運動方程式

では、各方向の運動方程式を考えてみたいと思います。

上のような座標系(回転系)を考えると、働く力は

  1. コリオリ力
  2. 重力

の二つです。

ではまず、コリオリ力を求めていきたいと思います。

コリオリ力は

$$
f = -2m{\bf\omega \times v}\tag{1}
$$

で与えられます。

いま、\(\omega\)上図の方向に働いているので、

$$
\bf \omega = \begin{pmatrix} -\omega \cos\alpha \\ 0 \\ \omega \sin\alpha \end{pmatrix}
$$

$$
\bf v = \begin{pmatrix} \dot x \\ \dot y \\ \dot z \end{pmatrix}
$$

と考えられます。

よってコリオリ力は

\begin{eqnarray}
f &=& -2m{\bf\omega \times v}\\
&=& 2m \omega \begin{pmatrix} \dot y \sin\alpha \\ – ( \dot x \sin\alpha + \dot z \cos\alpha)\\ \dot y \cos\alpha \end{pmatrix}
\end{eqnarray}

となります。

これを運動方程式に当てはめると

\begin{cases}
m\ddot x = 2m\omega \dot y \sin\alpha\\
m\ddot y = -2m\omega ( \dot x \sin\alpha + \dot z \cos\alpha) \\
m\ddot z = -mg + 2m\omega \dot y \cos\alpha
\end{cases}

となります。

近似

上の式では遠心力は弱いつまり、\(\omega << 1\)なのでこれの二乗は省略しました。

同様の近似をして答えを求めていきます。

まず、\(\dot x,\dot y\)ですが、運動方程式を見ると\(\ddot x,\ddot y\)が\(\omega\)に比例するので積分すると \(\dot x,\dot y\) は\(\omega \)に比例することが分かります。

なので、\(\omega \dot x,\omega \dot y\)は省略できます。(二次の微小量なので)

よって運動方程式は

\begin{cases}
\ddot x = 0\\
\ddot y = -2\omega \dot z \cos\alpha \\
\ddot z = -g
\end{cases}

(\(\ddot z\)が\(-g\)の項を含むので\(\dot z\)は無視できない。)

積分

では得られた運動方程式を積分していきます。

初期値は

\begin{cases}
x = 0\\
y= 0\\
z = h
\end{cases}

\begin{cases}
\dot x = 0\\
\dot y= 0\\
\dot z = 0
\end{cases}

と考えられます。

まず、z軸方向を時間積分していくと

$$
\dot z = – gt
$$

$$
z = -\frac{1}{2}gt^2 + h\tag{2}
$$

となります。

また、y成分は

\begin{eqnarray}
\ddot y &=& -2\omega \dot z \cos\alpha \\
&=& 2\omega g \cos\alpha t
\end{eqnarray}

と変形できるのでy成分を積分すると

$$
y = \frac{1}{3}\omega g \cos\alpha t^3\tag{3}
$$

となります。

x方向も積分しますが

$$
x = 0
$$

が得られます。

ずれ

では(2)を(3)式に代入すると

$$
y = \frac{\omega \cos\alpha}{3} \sqrt{\frac{8(h-z)^3}{g}}
$$

となり、\(z=0\)の地点では

$$
y_0 = \frac{\omega \cos\alpha}{3} \sqrt{\frac{8h^3}{g}}
$$

となることが分かります。

これは地球の自転によって生じる落下位置のずれであり、このように質点が落ちていく軌道を「ナイルの放物線」といいます。

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