【電磁気】鏡像法をわかりやすく解説してみた

物理

今回は電磁気の解法のひとつである「鏡像法」について解説したいと思います。

鏡像法は、導体の表面に出てくる電荷密度を仮想的な電荷を考えることで求める方法です。

少々トリッキーな方法なので慎重に説明していきたいと思います。

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鏡像法

図のように\(x,z\)軸を設定し、\(x=a\)に電荷\(q\)を置きます。

また、\(x=0\)が平面の導体が\(x<0\)に存在しているとします。

点\(P(x,y,z)\)におけるポテンシャル

最初は導体の代わりに、\(x=-a\)に仮想電荷\(-q\)を置きます。(鏡像法)

では、任意の点\(P(x,y,z)\)における静電ポテンシャル\(\phi\)を求めてみましょう。

まず、電荷\(q\)の静電ポテンシャル\(\phi_{+}\)は

$$
\phi_{+} = \frac{q}{4\pi\epsilon_{0}}\frac{1}{\sqrt{(x-a)^2+y^2+z^2}}
$$

また、仮想電荷\(-q\)の静電ポテンシャル\(\phi_{-}\)は

$$
\phi_{-} = -\frac{q}{4\pi\epsilon_{0}}\frac{1}{\sqrt{(x+a)^2+y^2+z^2}}
$$

よって\(P(x,y,z)\)での静電ポテンシャル\(\phi\)は、これらの足し算になるので、

$$
\phi = \phi_{+}+\phi_{-}=\frac{q}{4\pi\epsilon_{0}}\left\{\frac{1}{\sqrt{(x-a)^2+y^2+z^2}}-\frac{1}{\sqrt{(x+a)^2+y^2+z^2}}\right\}\tag{1}
$$

となります。

点\(P(x,y,z)\)における電場

点\(P(x,y,z)\)における電場\(E\)を求めます。同様にして求めていきます。

まず、電荷\(q\)の電場\(E_{+}\)は

$$
E_{+} = \frac{q}{4\pi\epsilon_{0}}\frac{1}{\{(x-a)^2+y^2+z^2\}^{\frac{3}{2}}}\begin{pmatrix}x-a\\y\\z\end{pmatrix}
$$

また、仮想電荷\(-q\)の電場\(E_{-}\)は

$$
E_{-} = -\frac{q}{4\pi\epsilon_{0}}\frac{1}{\{(x+a)^2+y^2+z^2\}^{\frac{3}{2}}}\begin{pmatrix}x+a\\y\\z\end{pmatrix}
$$

よって\(P(x,y,z)\)での電場\(E\)は、これらの足し算になるので、

$$
\begin{eqnarray}
E&=&E_{+}+E_{-}\\&=&\frac{q}{4\pi\epsilon_{0}}\left[ \frac{1}{\{(x-a)^2+y^2+z^2\}^{\frac{3}{2}}}\begin{pmatrix}x-a\\y\\z\end{pmatrix} – \frac{1}{\{(x+a)^2+y^2+z^2\}^{\frac{3}{2}}}\begin{pmatrix}x+a\\y\\z\end{pmatrix} \right]
\end{eqnarray}\tag{2}
$$

となります。

導体の境界条件

ここで、\(x=0\)の面で導体の境界条件である、

$$
\begin{cases}
1. x=0面の静電ポテンシャルが一定\\
2. 電場がこの面に対して垂直
\end{cases}
$$

を満たすかどうかを確かめます。これを満たしていれば、導体を一つの仮想電荷で置き換えてもよいという証明になります。

x=0面の静電ポテンシャルが一定

\(x=0\)を(1)式に代入すると、

$$
\phi = 0 = 一定
$$

となります。一つ目の条件は満たしました。

電場が\(x=0\)面に対して垂直

これも同様に、\(x=0\)を(2)式に代入すると、

$$
E = \frac{q}{4\pi\epsilon_{0}}\left\{ \frac{1}{(a^2+y^2+z^2)^{\frac{3}{2}}}\begin{pmatrix}-2a\\0\\0\end{pmatrix} \right\}\tag{3}
$$

ここから、\(x\)軸方向にしか値がないため、\(x=0\)面に対して垂直であるといえます。

面密度分布

次は仮想電荷を考えることをやめ、導体を考えていきます。

まず、導体表面を挟むような円柱を考え、その面積を\(S\)とします。

導体表面の電場は垂直であることと(3)式から、ガウスの法則を使って、

$$
\begin{eqnarray}
\int_{S}E\cdot dS &=& ES\\
&=& \frac{q}{4\pi\epsilon_{0}}\left\{ \frac{-2a}{(a^2+y^2+z^2)^{\frac{3}{2}}} \right\} S\\
&=& \int_{V}\frac{\rho}{\epsilon_{0}}\\
\end{eqnarray}\tag{4}
$$

となります。

ここで電荷の面密度\(\sigma\)を考えます。

電荷は導体表面にしか存在しないので、

$$
\int_{V}\frac{\rho}{\epsilon_{0}} = \frac{\sigma S}{\epsilon_{0}}\tag{5}
$$

とすることができます。

よって、(4)(5)式より、

$$
\frac{q}{4\pi\epsilon_{0}}\left\{ \frac{-2a}{(a^2+y^2+z^2)^{\frac{3}{2}}} \right\}S = \frac{\sigma S}{\epsilon_{0}}
$$

よって\(\sigma\)は

$$
\sigma = -\frac{q}{2\pi}\frac{a}{(a^2+y^2+z^2)^{\frac{3}{2}}}
$$

となります。

この面密度\(\sigma\)は\(y,z\)に依存し、\(x=0\)面でどのように電荷が分布いているかを表しています。

このように変数に依存し、電荷の分布を表す面密度を「面密度分布」と呼びます。

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