【磁気流体】磁気流体の基本方程式を導出してみた！

こんにちは

今回は「磁気流体としてのプラズマの基本方程式」について解説したいと思います。

磁気流体は流体としての性質はもちろん、電磁気的な性質も持ち合わせています。

ですから、流体力学・電磁気学といった複合的な知識が必要になってきます。

プラズマの基本方程式

前回「【磁気流体】デバイ長を導出してみた！！」でデバイ長について解説しました。

デバイ長はクーロン力が影響を及ぼす範囲を示した値です。実際に観測された値を代入してこれを計算していくと、例えば太陽コロナの場合、デバイ長は7cmほどにしかなりません。つまり、太陽コロナ中の荷電粒子がクーロン力を及ぼす範囲はせいぜい7cmほどしかないということです。

なので、プラズマはほぼ中性（正の電荷と負の電荷の数が等しい）とみなすことができます。

よって、磁気流体中での運動方程式はナビエ-ストークス方程式から、

$$
\rho\left(\frac{\partial}{\partial t} + \boldsymbol{U}・\nabla \right)\boldsymbol{U} = -\nabla p + \underbrace{\frac{1}{c}\boldsymbol{J \times B}}_{ローレンツ力}
$$

となります。\(\rho\)は流体の密度、\(\boldsymbol{U}\)は流体の速度、\(p\)は流体に掛かる圧力、\(\boldsymbol{J }\)は流体を流れる電流、\(\boldsymbol{B}\)は流体に掛かる磁場となっています。

磁気流体ではこのように磁場に直交に電流が流れるとローレンツ力が生じます。

この他に、連続の方程式

$$
\frac{\partial}{\partial t}\rho + \nabla・(\rho \boldsymbol{U}) = 0
$$

とマクスウェル方程式

$$
\frac{1}{c}\frac{\partial}{\partial t}\boldsymbol{E} = \nabla \times \boldsymbol{B} – \frac{4\pi}{c}\boldsymbol{J}
$$

$$
\frac{1}{c}\frac{\partial}{\partial t}\boldsymbol{B} = -\nabla \times\boldsymbol{E}
$$

を用いてプラズマの挙動を議論していきます。

アンペールの式を近似

$$
\begin{cases}
\partial E \sim \Delta E\\
\partial B \sim \Delta B\\
\partial t \sim \Delta T\\
\nabla \times \sim \Delta L
\end{cases}
$$

とおくとマクスウェル方程式（ファラデーの電磁誘導の式）

$$
\frac{1}{c}\frac{\partial}{\partial t}\boldsymbol{B} = -\nabla \times\boldsymbol{E}
$$

は

$$
\frac{1}{c}\frac{\Delta B}{\Delta t} \sim -\frac{\Delta E}{\Delta L}
$$

となります。よって

$$
\frac{\Delta B}{\Delta E} \sim \frac{c\Delta T}{\Delta L}
$$

となることが分かります。

ここで、もう一つのマクスウェル方程式（アンペールの式）

$$
\frac{1}{c}\frac{\partial}{\partial t}\boldsymbol{E} = \nabla \times \boldsymbol{B} – \frac{4\pi}{c}\boldsymbol{J}
$$

の変位電流の項と右辺の第一項を比べると

$$
\frac{\frac{\Delta E}{\Delta T}}{c\frac{\Delta B}{\Delta L}} \sim \frac{\Delta L^2}{c^2\Delta T^2} \sim \frac{U^2}{c^2}
$$

となり、流体の速度\(U\)が光の速さよりも十分遅いとき、変位電流は

$$
\frac{\Delta E}{\Delta T} \sim \frac{\partial E}{\partial t} \sim 0
$$

となります。よってアンペールの式は

$$
\nabla \times \boldsymbol{B} = \frac{4\pi}{c}\boldsymbol{J}
$$

と近似できます。

ファラデーの式を近似

次にファラデーの電磁誘導の式を近似します。

磁気流体中ではローレンツ力が働くので電場が発生するので、電流は

$$
\boldsymbol{J} = \sigma\left(\boldsymbol{E} + \frac{1}{c}\boldsymbol{U}\times \boldsymbol{B}\right)
$$

と書ける。これをファラデーの式

$$
\frac{1}{c}\frac{\partial}{\partial t}\boldsymbol{B} = -\nabla \times\boldsymbol{E}
$$

に代入すると

$$
\frac{\partial}{\partial t}\boldsymbol{B} = \nabla \times (\boldsymbol{U}\times\boldsymbol{B})+\frac{c^2}{4\pi \sigma}\Delta \boldsymbol{B}
$$

さらに\(\sigma → \infty\)のとき、

$$
\frac{\partial}{\partial t}\boldsymbol{B} = \nabla \times (\boldsymbol{U}\times\boldsymbol{B})
$$

となります。

まとめ

以上をまとめると磁気流体の基本方程式は

運動方程式

$$
\rho\left(\frac{\partial}{\partial t} + \boldsymbol{U}・\nabla \right)\boldsymbol{U} = -\nabla p + \frac{1}{c}\boldsymbol{J \times B}
$$

連続の式

$$
\frac{\partial}{\partial t}\rho + \nabla・(\rho \boldsymbol{U}) = 0
$$

アンペールの式

$$
\nabla \times \boldsymbol{B} = \frac{4\pi}{c}\boldsymbol{J}
$$

ファラデーの式

$$
\frac{\partial}{\partial t}\boldsymbol{B} = \nabla \times (\boldsymbol{U}\times\boldsymbol{B})
$$

となります。主にこれらの式が磁気流体を扱う上で重要になってくるのでぜひ覚えておきましょう。

参考

この本を参考にしました。