今回は「マグネトロン」の原理について解説したいと思います。
マグネトロンとはマイクロ波を発信させるのに使う装置で、身近なところでは電子レンジに使われています。
電子を電場と磁場でコントロールし、電力を生み出します。
このとき、面白い挙動を示すので見ていきましょう。
マグネトロンの原理
電場
$$
{\bf E }= \begin{pmatrix}-kx\\-ky\\2kz\end{pmatrix}
$$
磁場
$$
{\bf B} = \begin{pmatrix}0\\0\\B\end{pmatrix}
$$
となる電磁場内での電子の運動を考えます。（マグネトロン内の電子の運動）
運動方程式
ローレンツ力
$$
m\dot v = q(\bf E +v\times E)
$$
より、
上の電磁場内にいる電子の運動方程式を求めてみましょう。
\begin{eqnarray}
\begin{cases}
m\ddot x = ekx-e\dot y B\\
m\ddot y = eky+e\dot x B\\
m\ddot z = -2ekz
\end{cases} \tag{1}
\end{eqnarray}
となります。これを解いていきましょう。
z成分
では一番単純なz成分から解いていきましょう。
z成分は単振動の形をしているので
$$
z = C\cos(\sqrt{2}\omega_0 t + \alpha) \left(C,\alpha は定数,\omega_0^2 = \frac{ek}{m}\right)\tag{2}
$$
となります。
x,y成分
次にx,y成分を解いていきたいと思います。
なかなかこれが厄介で、これらは連立微分方程式の形になっています。
このような形の問題には連成振動のときに使った手法で対処しましょう。
まず、(1)式を整理します。
すると
\begin{cases}
\ddot x – \omega_0^2x + 2b\dot y = 0\\
\ddot y – \omega_0^2y – 2b\dot x = 0 \left(b = \frac{eB}{2m}\right)
\end{cases}
となります。
ここで
$$
x = Ae^{i\omega t}
$$
$$
y = Be^{i\omega t}
$$
とおいて代入します。すると
$$
\begin{cases}
-(\omega ^2 + \omega_0^2)A + 2ib\omega B =0\\
-2ib\omega A – (\omega ^2-\omega_0^2)B = 0
\end{cases}\tag{3}
$$
となります。これを行列で表すと
$$
\begin{pmatrix}-(\omega^2 + \omega_0^2) && 2ikb\omega \\
-2ib\omega && -(\omega^2 + \omega_0^2)\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}A\\B \end{pmatrix} = 0
$$
となるので、\(A=B=0\)以外の解があるためには
$$
\det \begin{pmatrix}-(\omega^2 + \omega_0^2) && 2ikb\omega \\
-2ib\omega && -(\omega^2 + \omega_0^2)\end{pmatrix} =0
$$
であればいいことが分かります。
これを計算すると
$$
(\omega + \omega_0^2) = 4b^2\omega^2
$$
となり、
$$
\pm \omega_1 = b + \sqrt{b^2 – \omega_0^2}
$$
$$
\pm \omega_1 = b – \sqrt{b^2 – \omega_0^2}
$$
となることが分かります。
よって、重ね合わせの原理から、
$$
x = C_1e^{i\omega_1 t} + C_2e^{-i\omega_1 t} + C_3e^{i\omega_2 t} + C_4e^{-i\omega_2 t}\tag{4}
$$
となります。
また、(2)式に\(\omega_1,\omega_2\)を代入すると
$$
B = -iA,iA
$$
が求まるのでyは
$$
y = -iC_1e^{i\omega_1 t} + iC_2e^{-i\omega_1 t} -i C_3e^{i\omega_2 t} + iC_4e^{-i\omega_2 t} \tag{5}
$$
となります。
マグネトロン内での電子の挙動
(4),(5)式をさらに変換していきます。
いま、
$$
\begin{cases}
x = C_1e^{i\omega_1 t} + C_2e^{-i\omega_1 t} + C_3e^{i\omega_2 t} + C_4e^{-i\omega_2 t}\\
y = -iC_1e^{i\omega_1 t} + iC_2e^{-i\omega_1 t} -i C_3e^{i\omega_2 t} + iC_4e^{-i\omega_2 t}
\end{cases}
$$
なので、
$$
\begin{cases}
R_1 = 2\sqrt{A_1A_2}\\
R_2 = 2\sqrt{A_3A_4}\\
\beta = -\arctan\left(i\frac{A_1 – A_2}{A_1 + A_2}\right)\\
\gamma = -\arctan\left(i\frac{A_3 – A_4}{A_3 + A_4}\right)
\end{cases}
$$
と置いて書き換えると
$$
\begin{cases}
x = R_1\cos(\omega_1 t + \beta)+\underbrace{R_2\cos(\omega_2t + \gamma)}_{x’}\\
y = R_1\sin(\omega_1 t + \beta)+\underbrace{R_2\sin(\omega_2t + \gamma)}_{y’}
\end{cases}
$$
となります。
また、上のようにx’,y’を決めると
$$
\begin{cases}
x – x’ = R_1\cos(\omega_1 t + \beta)\\
y – y’ = R_1\sin(\omega_1 t + \beta)
\end{cases}
$$
となります。
これは(x,y)が(x’,y’)を中心に回転していることを表しています。
さらに(x’,y’)も回転しているので、電子の軌道を図に表すと
となります。不思議な軌道ですね。
参考
この二冊を参考にさせていただきました。
