【量子力学】LS結合からエネルギー分裂を考えてみた!

物理

今回は「LS結合」について解説していきたいと思います。

LS結合とは軌道角運動量\(l\)とスピン\(s\) の合成を考えることでエネルギーを計算する方法のことです。

以前「【量子力学】角運動量の合成~直積状態と合成状態~」などで角運動量の合成などを行いましたが、これで導いた結果をフルに使っていきます。

今回はLS結合を使ってハミルトニアンを書き下し、異なる状態間のエネルギー分裂を求めてみたいと思います。

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LS結合

粒子の全角運動量

「異なる状態のエネルギー分裂を求める」といいましたが、異なる状態とは何でしょうか。

それは粒子の取りうる全角運動量\(\bf \hat j\)ごとの状態です。

全角運動量は

$$
\bf \hat j = \hat s + \hat l\tag{1}
$$

となります。

今回はスピン\(\bf \hat s\)の大きさが\(\frac{1}{2}\),軌道角運動量\(\bf \hat l\)の大きさが1の状態にある粒子を考えます。

よって全角運動量\(\bf \hat j\)の大きさは

$$
\begin{eqnarray}
j &=& 1+\frac{1}{2},1+\frac{1}{2}-1\\
&=& \frac{3}{2},\frac{1}{2}\tag{2}
\end{eqnarray}
$$

となります。

(なぜこの二つなのかは「 【量子力学】角運動量の合成~直積状態と合成状態~ 」で解説した通りです。全角運動量(合成角運動量)は整数・半整数を取ります。)

ハミルトニアン

では、この粒子のハミルトニアンを決めていきます。

今回は中心場\(V(r)\)(クーロンポテンシャルなど)につかまった粒子を考えます。

また、粒子のスピン軌道相互作用\(\lambda\bf \hat l \cdot \hat s\)も考えると、ハミルトニアンは

$$
\hat H = \frac{\hat p^2}{2m}+V(r) + \lambda\bf \hat l \cdot \hat s \tag{3}
$$

となります。

\( \lambda\bf \hat l \cdot \hat s \)

(3)式の\(\lambda\bf \hat l \cdot \hat s\)を\(\bf \hat j\)で表してみましょう。

(1)式から、

$$
\bf \hat j = \hat s + \hat l
$$

であったので、これを二乗します。

すると

$$
\bf \hat j^2 = \hat s^2 + \hat l^2 + 2\hat l \cdot \hat s \tag{4}
$$

となります。

よって、

$$
\bf \hat l \cdot \hat s = \frac{ \bf \hat j^2 – \hat s^2 – \hat l^2 }{2}\tag{5}
$$

となります。

よって(3)式のハミルトニアンは

$$
\hat H = \frac{\hat p^2}{2m}+V(r) + \lambda \frac{ \bf \hat j^2 – \hat s^2 – \hat l^2 }{2} \tag{6}
$$

と書き換えることができます。

エネルギー分裂

ではエネルギー分裂を確かめていきましょう。

(6)式の固有状態を\(| \psi \rangle\)とすると

$$
\langle \psi |\hat H | \psi \rangle = \langle \psi |\frac{\hat p^2}{2m}+V(r) | \psi \rangle + \langle \psi | \lambda \frac{ \bf \hat j^2 – \hat s^2 – \hat l^2 }{2}| \psi \rangle \tag{7}
$$

となります。

これは

$$
\begin{cases}
\langle \psi |\hat H | \psi \rangle = E_0\\
\langle \psi |\frac{\hat p^2}{2m}+V(r) | \psi \rangle = E_1
\end{cases}
$$

とすると

(7)式は

$$
E_0 = E_1 + \langle \psi | \lambda \frac{ \bf \hat j^2 – \hat s^2 – \hat l^2 }{2}| \psi \rangle \tag{8}
$$

と変形できます。

固有値

では(8)式の

$$
\langle \psi | \lambda \frac{ \bf \hat j^2 – \hat s^2 – \hat l^2 }{2}| \psi \rangle
$$

部分を計算していきましょう。

【量子力学】角運動量の合成~直積状態と合成状態~ 」でやったように全角運動量\(\bf \hat j\),軌道角運動量 \(\bf \hat l\),スピン \(\bf \hat s\)は次のように書けます。

$$
\begin{cases}
{\bf j^2|\psi \rangle} = j(j+1)|\psi\rangle \\
{\bf l^2|\psi \rangle} = l(l+1)|\psi\rangle \\
{\bf s^2|\psi \rangle} = s(s+1)|\psi\rangle
\end{cases}\tag{9}
$$

\(j=\frac{3}{2}\)のとき

これで準備が整いました。

$$
\begin{cases}
j=\frac{3}{2}\\
l = 1\\
s=\frac{1}{2}
\end{cases}
$$

のとき(9)式を(8)式に代入すると

$$
\begin{eqnarray}
E_0 &=& E_1 + \lambda \langle \psi | \lambda \frac{ j(j+1) – s(s+1) – l(l+1) }{2}| \psi \rangle \\
&=& E_1 + \lambda \frac{ \frac{3}{2}\left(\frac{3}{2}+1\right) – 1(1+1)-\frac{1}{2}\left(\frac{1}{2}\right) }{2} \\
&=& E_1 + \frac{\lambda}{2}
\end{eqnarray} \tag{10}
$$

となります。

\(j=\frac{1}{2}\)のとき

$$
\begin{cases}
j=\frac{1}{2}\\
l = 1\\
s=\frac{1}{2}
\end{cases}
$$

のとき(9)式を(8)式に代入すると

$$
\begin{eqnarray}
E_0 &=& E_1 + \lambda \langle \psi | \lambda \frac{ j(j+1) – s(s+1) – l(l+1) }{2}| \psi \rangle \\
&=& E_1 + \lambda \frac{ \frac{3}{2}\left(\frac{1}{2}+1\right) – 1(1+1)-\frac{1}{2}\left(\frac{1}{2}\right) }{2} \\
&=& E_1 -\lambda
\end{eqnarray} \tag{11}
$$

となります。

よって(10),(11)から、二つのエネルギー準位が確認され、分裂していることが分かりました!!

参考

http://phys.sci.hokudai.ac.jp/~kita/QuantumMechanicsIII/QuantumMechanicsIII(spin).pdf
物理定数 - プランク単位 - わかりやすく解説 Weblio辞書
物理定数 プランク単位 「系」を参照脚注関連項目数量の比較人名に由来する物理単位の一覧人名に由来する物理定数(英語版)エポニム物理法則科学技術データ委員会 (CODATA)&...
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