【LR回路】微分方程式の解と消費される電力を求めてみた

今回は「LR回路」の微分方程式の解と消費される電力ついて解説していきたいと思います。

LR回路とはコイルLと抵抗Rのみで作られた回路のことです。

この回路で電流に対する微分方程式の解を求めた後、消費される電力

$$
P = VI\cos\theta = \frac{V_0^2R}{R^2+(\omega L)^2}
$$

の導出をしていきたいと思います。

LR回路の微分方程式

図

上のような抵抗値\(R\)の抵抗と、自己インダクタンス\(L\)のコイルからなる回路を考えます。電圧は\(t=0\)で\(V=0\)、\(t>0\)のとき\(V=V_0\)とします。

電圧を時間の関数として表す

では、コイルにかかる電圧を時間の関数として求めてみましょう。

キルヒホッフの法則から、電源電圧は各々の電圧降下に等しいので

$$
V_0 = RI+L\frac{dI}{dt}\tag{1}
$$

となります。

\(V_0 = 0\)と置く

(1)式を解くには

1. \(V_0=0\)と置いて一般解を求める
2. \(I=I_0\)と置いて特解を求める
3. 1.2.を足す

として求めることができます。

では(1)式で\(V_0=0\)と置くと

$$
\begin{eqnarray}
RI &=& -L\frac{dI}{dt}\\
\frac{dI}{I}&=&-\frac{R}{L}dt\tag{2}
\end{eqnarray}
$$

となります。(2)式の両辺を積分すると、

$$
\begin{eqnarray}
\log I &=& -\frac{R}{L}t + C　(Cは定数)\\
I &=& Ce^{-\frac{R}{L}t}\tag{3}
\end{eqnarray}
$$

となります。

\(I=I_0\)と置いて特解を求める

今回\(V_0\)が定数なので、\(I = I_0　(I_0は定数)\)として特解を求めます。

(1)式へ代入すると

$$
\begin{eqnarray}
V_0 &=& RI_0 + 0\\
I_0&=& \frac{V_0}{R}\tag{4}
\end{eqnarray}
$$

となります。

一般解、特解を足す

最後に(3),(4)式を足すと

$$
I = \frac{V_0}{R} + Ce^{-\frac{R}{L}t}\tag{5}
$$

さらに、\(t=0\)のとき\(I = 0\)であるから、

$$
\begin{eqnarray}
0 &=& \frac{V_0}{R} + C\\
C &=& – \frac{V_0}{R}
\end{eqnarray}
$$

よって、(5)式に代入すると

$$
I = \frac{V_0}{R}\left(1 – e^{-\frac{R}{L}t} \right)\tag{6}
$$

となります。

LR回路の電力

位相のずれ

LR回路の電力を求めていきたいと思います。

まず、電力\(P\)は

$$
P = VI\cos\theta
$$

を満たします。

ここで\(\cos\theta\)は

（\(R\)と\(\omega L\)は位相が90°ずれているため）このような直角三角形を考えたときの\(\cos\theta\)を表していて、

$$
\cos\theta = \frac{R}{\sqrt{R^2 + (\omega L)^2}}\tag{7}
$$

となります。

インピーダンス\(Z\)

流れる電流はインピーダンス\(Z\)を使います。

インピーダンス\(Z\)は

$$
Z= \sqrt{R^2 + (\omega L)^2}
$$

となります。

この回路を流れる電流\(I\)は電源電圧\(V_0\)をインピーダンスで割った値

$$
I = \frac{V_0}{Z}= \frac{V_0}{ \sqrt{R^2 + (\omega L)^2} }\tag{8}
$$

となります。

電圧

よってこの回路の電圧は(7),(8)式より

$$
\begin{eqnarray}
P &=& VI\cos\theta\\
&=& V_0 \frac{V_0}{ \sqrt{R^2 + (\omega L)^2} } \frac{R}{\sqrt{R^2 + (\omega L)^2}} \\
&=& \frac{V_0^2R}{R^2+(\omega L)^2}
\end{eqnarray}
$$

となります。