こんにちは
今回は「ローレンツ条件」について解説していきたいと思います。
ローレンツ条件とは
$$
\nabla \cdot {\bf A} + \epsilon_0 \mu_0 \frac{\partial \phi}{\partial t} = 0
$$
という条件のことです。
なぜこのようなややこしい条件を導入するのかというと、これを使うことで「【電磁気】電磁ポテンシャルについて詳しく解説してみた！」で求めた「マクスウェル方程式を電磁ポテンシャルで表した式」
$$
-\nabla^2 \phi – \epsilon_0\mu_0 \frac{\partial }{\partial t}\nabla \cdot{\bf A} = \rho\\
\nabla \times (\nabla \times {\bf A})= \mu_0 {\bf j} – \epsilon_0 \mu_0\nabla \frac{\partial \phi }{\partial t} – \epsilon_0^2\mu_0^2 \frac{\partial^2 {\bf A}}{\partial t^2}\\
$$
を
$$
\left(\nabla^2 – \frac{\partial^2}{\partial t^2}\right){\bf A} = -\mu_0 {\bf j}\\
\left(\nabla^2 – \frac{\partial^2}{\partial t^2}\right)\phi = -\frac{\rho}{\epsilon_0}
$$
というようにきれいにすることができます。（式をきれいにすることがローレンツ条件の目的）
それではさっそくやっていきましょう！
ローレンツ条件
この記事では
- マクスウェル方程式を変形してみる
- ゲージ変換
- ローレンツ条件
という流れで解説していきます。
マクスウェル方程式を変形してみる
さて、「【電磁気】電磁ポテンシャルについて詳しく解説してみた！」にて最後に求めた式
$$
-\nabla^2 \phi – \epsilon_0\mu_0 \frac{\partial }{\partial t}\nabla \cdot{\bf A} = \rho\\
\nabla \times (\nabla \times {\bf A})= \mu_0 {\bf j} – \epsilon_0 \mu_0\nabla \frac{\partial \phi }{\partial t} – \epsilon_0^2\mu_0^2 \frac{\partial^2 {\bf A}}{\partial t^2}\\
$$
がありましたが、これは式が汚いですね…。すこし変形して形を整えてみましょう。
すると
$$
\left(\nabla^2 – \epsilon_0 \mu_0 \frac{\partial^2}{\partial t^2}\right)\phi + \frac{\partial}{\partial t}\underbrace{\left(\nabla \cdot {\bf A} + \epsilon_0\mu_0 \frac{\partial \phi}{\partial t}\right)}_{①} = – \frac{\rho}{\epsilon_0}\\
\left(\nabla^2 – \epsilon_0 \mu_0 \frac{\partial^2}{\partial t^2}\right){\bf A} – \nabla\underbrace{\left(\nabla \cdot {\bf A} + \epsilon_0\mu_0 \frac{\partial \phi}{\partial t}\right)}_{①} = -\mu_0 {\bf j}
$$
とすることができます。だいぶ整ってきましたね。
さらに、もしも①の部分が
$$
\nabla \cdot {\bf A} + \epsilon_0\mu_0 \frac{\partial \phi}{\partial t} = 0
$$
となってくれればそれぞれの式が
$$
\left(\nabla^2 – \frac{\partial^2}{\partial t^2}\right){\bf A} = -\mu_0 {\bf j}\\
\left(\nabla^2 – \frac{\partial^2}{\partial t^2}\right)\phi = -\frac{\rho}{\epsilon_0}
$$
となり、さらに式がきれいになります！（さらに言えば、連立方程式を解かなくてもよくなります！）
…しかし、こんな都合よく
$$
\nabla \cdot {\bf A} + \epsilon_0\mu_0 \frac{\partial \phi}{\partial t} = 0
$$
という関係が\({\bf A},\phi\)の間にあるものでしょうか？
そこで出てくるのが「ゲージ変換」です！
ゲージ変換
少し話は戻り、電磁ポテンシャルを決めるときを考えます。
\({\bf E,B}\)を\({\bf A},\phi\)に変換するときに
$$
{\bf B} = \nabla \times {\bf A}\\
$$
を考えましたが、\({\bf B}\)を\({\bf A}\)に変換する代わりに
$$
{\bf A’} = {\bf A} + \nabla \chi (\chi は定数)
$$
を満たす\({\bf A’}\)に変関しても同じような式が出てきます。
実際に代入してみると
$$
\begin{eqnarray}
{\bf B} &=& \nabla \times {\bf A’}\\
&=& \nabla \times ({\bf A} + \nabla \chi)\\
&=& \nabla \times {\bf A} (ここで\nabla \times (\nabla \chi) = 0を使った)
\end{eqnarray}
$$
となり、\({\bf A’} でも {\bf A}\)でも全く同様に\({\bf B}\)を変形できます。
これは
$$
{\bf E} = -\nabla \phi – \epsilon_0 \mu_0 \frac{\partial {\bf A}}{\partial t}
$$
において
$$
\phi’ = \phi + \nabla \chi (\chi は定数)
$$
を\(\phi\)の代わりに代入しても成り立ちます。
つまりここからいえることは\({\bf E,B}\)を変換するときには\({\bf A},\phi\)でも\({\bf A’},\phi’\)でも好きな方に変換していいよ（\({\bf A”},\phi”\)とかでもいい）！！ということです。
このような変換を「ゲージ変換」といいます。
ローレンツ条件
このように、ゲージ変換では好きなように\({\bf A},\phi\)を選ぶことができます。
なので先ほどの述べたような式がきれいになる（都合のいい）関係
$$
\nabla \cdot {\bf A} + \epsilon_0\mu_0 \frac{\partial \phi}{\partial t} = 0
$$
を満たすような\({\bf A},\phi\)を選べばいいのです！！
（そうすれば式がきれいになり、みんなハッピー）
このような都合のいい関係、これが「ローレンツ条件」になります。
余談
好きな\({\bf A},\phi\)を選ぶというのはつまるところ\(\chi\)を選ぶということになります。
このようなローレンツ条件を満たす\(\chi\)は必ず存在します。つまり
$$
\begin{eqnarray}
\nabla \cdot {\bf A’} + \epsilon_0\mu_0 \frac{\partial \phi’}{\partial t} &=& \nabla \cdot ({\bf A} + \nabla \phi) + \epsilon_0\mu_0 \frac{\partial }{\partial t}\left(\phi – \frac{\partial \chi}{\partial t}\right)\\
&=& \left(\nabla^2 – \epsilon_0\mu_0 \frac{\partial^2}{\partial t^2}\right)\chi + \left(\nabla \cdot {\bf A} + \epsilon_0\mu_0 \frac{\partial \phi}{\partial t}\right)\\
&=& 0
\end{eqnarray}
$$
を満たす\(\chi\)であり、それはすなわち
$$
\left(\nabla^2 – \epsilon_0\mu_0 \frac{\partial^2}{\partial t^2}\right)\chi + \left(\nabla \cdot {\bf A} + \epsilon_0\mu_0 \frac{\partial \phi}{\partial t}\right)= 0
$$
を満たす\(\chi\)だからです。この式の解\(\chi\)は必ず存在します。
まとめ
ローレンツ条件
$$
\nabla \cdot {\bf A} + \epsilon_0\mu_0 \frac{\partial \phi}{\partial t} = 0
$$
を満たすような、好きな電磁ポテンシャルを決めることでマクスウェル方程式は
$$
\left(\nabla^2 – \frac{\partial^2}{\partial t^2}\right){\bf A} = -\mu_0 {\bf j}\\
\left(\nabla^2 – \frac{\partial^2}{\partial t^2}\right)\phi = -\frac{\rho}{\epsilon_0}
$$
と書くことができるようになりました。
これは非常にきれいな形で、このことによって簡単に\({\bf A},\phi\)を求めることができるようになりました！！
参考
