今回はルジャンドルの微分方程式を求めたいと思います。
変数分離を行っていくので、慎重にやっていきましょう。
最終的には球面調和関数を求めていきたいと思います。
三次元シュレディンガー方程式
球面対称ポテンシャル(V(r))に束縛された三次元のシュレディンガー方程式
$$
-\frac{\hbar^2}{2m}\nabla^2\psi({\bf r}) + V(r)\psi({\bf r}) = E\psi({\bf r})\tag{1}
$$
を変数分離していきます。
変数分離
ラプラシアン
ラプラシアンの極座標表示は
$$
\nabla^2 = \left(\frac{1}{r}\frac{\partial}{\partial r}r\right)^2+\frac{1}{r^2\sin\theta}\frac{\partial}{\partial \theta}\left(\sin\theta\frac{\partial}{\partial \theta}\right)+\frac{1}{r^2\sin^2\theta}\left(\frac{\partial}{\partial \phi}\right)^2\tag{2}
$$
となります。
変数分離
さらに
$$
\psi(r,\theta,\phi) = R(r)\Theta(\theta)\Phi(\phi)\tag{3}
$$
とし、(1)式に(2),(3)式を代入して整理すると、
$$
-\frac{\hbar^2}{2m} \left[\left(\frac{1}{r}\frac{\partial}{\partial r}r\right)^2+\frac{1}{r^2\sin\theta}\frac{\partial}{\partial \theta}\left(\sin\theta\frac{\partial}{\partial \theta}\right)+\frac{1}{r^2\sin^2\theta}\left(\frac{\partial}{\partial \phi}\right)^2 \right] R(r)\Theta(\theta)\Phi(\phi) \\= (E-V) R(r)\Theta(\theta)\Phi(\phi)
$$
となります。
さらに\( R(r)\Theta(\theta)\Phi(\phi) \)で両辺を割ると、
$$
-\frac{\hbar^2}{2m} \left[\frac{1}{R(r)}\left(\frac{1}{r}\frac{\partial}{\partial r}r\right)^2R(r)+\frac{1}{\Theta(\theta)}\frac{1}{r^2\sin\theta}\frac{\partial}{\partial \theta}\left(\sin\theta\frac{\partial}{\partial \theta}\right)\Theta(\theta)\\
+\frac{1}{\Phi(\phi)}\frac{1}{r^2\sin^2\theta}\left(\frac{\partial}{\partial \phi}\right)^2\Phi(\phi) \right] = (E-V)\tag{4}
$$
となります。
R(r)の分離
(4)式に\(-\frac{2m}{\hbar^2}r^2\)をかけ、左辺を\(r\)のみ式にします。
$$
\underbrace{\frac{r^2}{R(r)}\left(\frac{1}{r}\frac{\partial}{\partial r}r\right)^2R(r) – \frac{2mr^2}{\hbar^2}(V(r)-E)}_{rのみの式} \\
=-\frac{1}{\Theta(\theta)\sin\theta} \frac{\partial}{\partial \theta} \left(\sin\theta\frac{\partial}{\partial \theta}\right)\Theta(\theta)-\frac{1}{\Phi(\phi)\sin^2\theta}\left(\frac{\partial}{\partial \phi}\right)^2\Phi(\phi) \tag{5}
$$
よって両辺を\(-\lambda\)と置いて分離することができます。
\(r\)について
$$
\frac{r^2}{R(r)}\left(\frac{1}{r}\frac{\partial}{\partial r}r\right)^2R(r) – \frac{2mr^2}{\hbar^2}(V(r)-E) = -\lambda\tag{5}
$$
という式が成り立ちます。
\(\Theta(\theta)\)の分離
次に\(\Phi(\phi)\)を分離します。
(5)の右辺は
$$
\frac{1}{\Theta(\theta)\sin\theta}\frac{\partial}{\partial \theta}\left(\sin\theta\frac{\partial}{\partial \theta}\right)\Theta(\theta)+\frac{1}{\Phi(\phi)\sin^2\theta}\left(\frac{\partial}{\partial \phi}\right)^2\Phi(\phi) = -\lambda
$$
さらに両辺に\(\sin^2\theta\)をかけて、左辺に\(\theta\)のみの式にして
$$
\underbrace{\sin\theta\frac{1}{\Theta(\theta)}\frac{\partial}{\partial \theta}\left(\sin\theta\frac{\partial}{\partial \theta}\right)\Theta(\theta) + \lambda\sin^2\theta}_{\thetaのみの式}
=\underbrace{-\frac{1}{\Phi(\phi)}\frac{\partial^2\Phi(\phi)}{\partial \phi^2} }_{\phiのみの式}=m^2\tag{6}
$$
となるのでこれを定数\(m^2\)とします。
よって、
$$
\sin\theta\frac{\partial}{\partial \theta}\left(\sin\theta\frac{\partial}{\partial \theta}\right)\Theta(\theta) = (m^2- \lambda\sin^2\theta) \Theta(\theta)\tag{7}
$$
と分離できます。
(7)式をルジャンドルの陪微分方程式と呼びます。
また、(7)式で\(m=0\)としたもの、すなわち
$$
\sin\theta\frac{\partial}{\partial \theta}\left(\sin\theta\frac{\partial}{\partial \theta}\right)\Theta(\theta) = – \lambda\sin^2\theta\Theta(\theta) \tag{8}
$$
をルジャンドルの微分方程式と呼びます。
\(\Phi(\phi)\)の分離
(6)式より、
$$
\frac{\partial^2\Phi(\phi)}{\partial \phi^2} = -m^2\Phi(\phi)\tag{8}
$$
と分離できます。
これですべての変数を分離できました。
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