【量子力学】ルジャンドルの微分方程式

今回はルジャンドルの微分方程式を求めたいと思います。

変数分離を行っていくので、慎重にやっていきましょう。

最終的には球面調和関数を求めていきたいと思います。

三次元シュレディンガー方程式
変数分離

三次元シュレディンガー方程式

球面対称ポテンシャル(V(r))に束縛された三次元のシュレディンガー方程式

$$
-\frac{\hbar^2}{2m}\nabla^2\psi({\bf r}) + V(r)\psi({\bf r}) = E\psi({\bf r})\tag{1}
$$

を変数分離していきます。

変数分離

ラプラシアン

ラプラシアンの極座標表示は

$$
\nabla^2 = \left(\frac{1}{r}\frac{\partial}{\partial r}r\right)^2+\frac{1}{r^2\sin\theta}\frac{\partial}{\partial \theta}\left(\sin\theta\frac{\partial}{\partial \theta}\right)+\frac{1}{r^2\sin^2\theta}\left(\frac{\partial}{\partial \phi}\right)^2\tag{2}
$$

となります。

変数分離

さらに

$$
\psi(r,\theta,\phi) = R(r)\Theta(\theta)\Phi(\phi)\tag{3}
$$

とし、(1)式に(2),(3)式を代入して整理すると、

$$
-\frac{\hbar^2}{2m} \left[\left(\frac{1}{r}\frac{\partial}{\partial r}r\right)^2+\frac{1}{r^2\sin\theta}\frac{\partial}{\partial \theta}\left(\sin\theta\frac{\partial}{\partial \theta}\right)+\frac{1}{r^2\sin^2\theta}\left(\frac{\partial}{\partial \phi}\right)^2 \right] R(r)\Theta(\theta)\Phi(\phi) \\= (E-V) R(r)\Theta(\theta)\Phi(\phi)
$$

となります。

さらに$ R(r)\Theta(\theta)\Phi(\phi) $で両辺を割ると、

$$
-\frac{\hbar^2}{2m} \left[\frac{1}{R(r)}\left(\frac{1}{r}\frac{\partial}{\partial r}r\right)^2R(r)+\frac{1}{\Theta(\theta)}\frac{1}{r^2\sin\theta}\frac{\partial}{\partial \theta}\left(\sin\theta\frac{\partial}{\partial \theta}\right)\Theta(\theta)\\
+\frac{1}{\Phi(\phi)}\frac{1}{r^2\sin^2\theta}\left(\frac{\partial}{\partial \phi}\right)^2\Phi(\phi) \right] = (E-V)\tag{4}
$$

となります。

R(r)の分離

(4)式に$-\frac{2m}{\hbar^2}r^2$をかけ、左辺を$r$のみ式にします。

$$
\underbrace{\frac{r^2}{R(r)}\left(\frac{1}{r}\frac{\partial}{\partial r}r\right)^2R(r) – \frac{2mr^2}{\hbar^2}(V(r)-E)}_{rのみの式} \\
=-\frac{1}{\Theta(\theta)\sin\theta} \frac{\partial}{\partial \theta} \left(\sin\theta\frac{\partial}{\partial \theta}\right)\Theta(\theta)-\frac{1}{\Phi(\phi)\sin^2\theta}\left(\frac{\partial}{\partial \phi}\right)^2\Phi(\phi) \tag{5}
$$

よって両辺を$-\lambda$と置いて分離することができます。

$r$について

$$
\frac{r^2}{R(r)}\left(\frac{1}{r}\frac{\partial}{\partial r}r\right)^2R(r) – \frac{2mr^2}{\hbar^2}(V(r)-E) = -\lambda\tag{5}
$$

という式が成り立ちます。

$\Theta(\theta)$の分離

次に$\Phi(\phi)$を分離します。

(5)の右辺は

$$
\frac{1}{\Theta(\theta)\sin\theta}\frac{\partial}{\partial \theta}\left(\sin\theta\frac{\partial}{\partial \theta}\right)\Theta(\theta)+\frac{1}{\Phi(\phi)\sin^2\theta}\left(\frac{\partial}{\partial \phi}\right)^2\Phi(\phi) = -\lambda
$$

さらに両辺に$\sin^2\theta$をかけて、左辺に$\theta$のみの式にして

$$
\underbrace{\sin\theta\frac{1}{\Theta(\theta)}\frac{\partial}{\partial \theta}\left(\sin\theta\frac{\partial}{\partial \theta}\right)\Theta(\theta) + \lambda\sin^2\theta}_{\thetaのみの式}
=\underbrace{-\frac{1}{\Phi(\phi)}\frac{\partial^2\Phi(\phi)}{\partial \phi^2} }_{\phiのみの式}=m^2\tag{6}
$$

となるのでこれを定数$m^2$とします。

よって、

$$
\sin\theta\frac{\partial}{\partial \theta}\left(\sin\theta\frac{\partial}{\partial \theta}\right)\Theta(\theta) = (m^2- \lambda\sin^2\theta) \Theta(\theta)\tag{7}
$$

と分離できます。

(7)式をルジャンドルの陪微分方程式と呼びます。

また、(7)式で$m=0$としたもの、すなわち

$$
\sin\theta\frac{\partial}{\partial \theta}\left(\sin\theta\frac{\partial}{\partial \theta}\right)\Theta(\theta) = – \lambda\sin^2\theta\Theta(\theta) \tag{8}
$$

をルジャンドルの微分方程式と呼びます。