井戸型ポテンシャル~無限~

物理

今回は井戸型ポテンシャルについて解説したいと思います。

特にポテンシャルの高さが無限のときについてをやっていきます。

このときはポテンシャルの内側に閉じ込められている粒子はポテンシャルの外へ出ていくことができずにいます。

そのためポテンシャルのあるところと、ないところの境界条件を満たすような波動関数を求めることになります。

それではさっそく証明していきましょう。

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状況整理

まずは、状況整理から始めていきます。

図1

図1のような無限の高さのあるポテンシャルの中に、質量\(m\)の粒子が閉じ込められているところを考えます。

ただし、ポテンシャルは

$$\begin{cases} \infty \;\;\; ( x < 0 または L < x ) \\0 \;\;\; ( 0 < x < L ) \end{cases}$$

となっています。

このときの波動関数と、固有エネルギーを求めます。

波動関数の導出

シュレディンガー方程式

まず、時間に依存しないシュレディンガー方程式$$-\frac{\hbar^2}{2m}\nabla^2\psi+V(x)\psi = E\psi$$ただし、ポテンシャルが\(\infty\)のところには粒子が存在できないので、\(V_0=0\)のところを考える。

するとシュレディンガー方程式は$$-\frac{\hbar^2}{2m}\nabla^2\psi = E\psi$$と書ける。

これを解くと、$$\psi = A\cos kx +B\sin kx (ただし、k=\sqrt{\frac{2mE}{\hbar^2}})$$

境界条件

ここで境界条件$$\begin{cases}\psi(0)=0\\\psi(L)=0\end{cases}$$を考えると、

$$\begin{cases}\psi(0)=0=A\\ \psi(L)=0=A\cos kL +B\sin kL\end{cases}$$

より、

$$B\sin kL=0$$となる。

これを満たす解は

$$kL = n\pi\ (n=0,1,2,\cdots)$$ である。よって $$k=\frac{n\pi}{L}$$ となる。

規格化

さて、これでkは求まったがBがいまだにわかっていない。

そこで、波動関数を規格化することによって定数Bを求めたいと思う。

いま、規格化条件は$$\int_0^L |\psi(x)|^2 dx = 1$$である。

これに、境界条件から出た式\(\psi = B\sin kx\)を代入すると、

$$1 = \int_0^L B^2\sin^2 kx dx $$

これを解くと$$B = \sqrt{\frac{2}{L}}$$となる。

よって、求めたい波動関数は$$\psi = \sqrt{\frac{2}{L}}\sin kx\ \ (ただしk=\frac{n\pi}{L})$$である。

エネルギー固有関数

次にエネルギー固有関数を求める。といっても、ここまで来たら簡単で、$$k=\sqrt{\frac{2mE}{\hbar^2}}=\frac{n\pi}{L}$$ということが今までの計算で分かっているから、これをEについて解くと、

$$E=\frac{\hbar^2 n^2 \pi^2}{2mL^2}$$となる。これがエネルギー固有値である。

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