今回はエルミート演算子について解説していきたいと思います。
エルミート演算子とは
$$ \psi_1,\;\;\;\psi_2 \;\;\; \cdots \;\;\; 任意の関数 \\ {\hat f} \;\;\; \cdots \;\;\; 演算子 $$
としたとき、 $$ \int_{-\infty}^{\infty}dx \psi_1^\ast({\hat f}\psi_2) = \int_{-\infty}^{\infty}dx ({\hat f}^\dagger{\psi_1})^\ast\psi_2\;\;\;\cdots\;\;\;({\ast}) $$ において
\({\hat f}^\dagger = {\hat f}\)となる演算子をエルミート演算子と呼びます。
今回は $$ 「{\hat f}はエルミート演算子」 \Leftrightarrow「{\hat f}の固有値f_nが実数」 $$ を示します。
\(「{\hat f}はエルミート演算子」 \Rightarrow「{\hat f}の固有値f_nが実数」\)の証明
\({\hat f}\)の固有値を\(f_n\),固有関数を\(\psi_n\)とすると、
$$ {\hat f}\psi_n = f_n\psi_n \tag{1} $$
両辺の複素共役を取ると $$ ({\hat f}\psi_n)^\ast = f_n^\ast\psi_n^\ast $$ 右から\(\psi_n\)をかけて積分する
$$\int dx({\hat f}\psi_n)^\ast \psi_n = \int dx f_n^\ast \psi_n^\ast\psi_n \tag{2}$$
ここで(2)式の右辺を考える。
$$\int dx f_n^\ast\psi_n^\ast\psi_n = f_n^\ast\int dx \psi_n^\ast\psi_n = f_n^\ast \tag{3}$$ (固有関数が規格化されているとすると\(\int dx \psi_n^\ast\psi_n = 1)\)
次に(2)式の左辺を考える。
\({\hat f}\)はエルミート演算子なので $$ \int dx \psi_n^\ast({\hat f}\psi_n) = \int dx ({\hat f}\psi_n)^\ast \psi_n $$ より、(2)式の左辺は
$$ \int dx({\hat f}\psi_n)^\ast \psi_n = \int dx \psi_n^\ast({\hat f}\psi_n) = \int dx \psi_n^\ast(f_n \psi_n) = f_n\int dx \psi_n^\ast\psi_n = f_n \tag{4} $$
よって、(2)式から、(3) = (4)なので $$ f_n^\ast = f_n $$ よって、\(f_n\)は実数なので、\(「{\hat f}はエルミート演算子」 \Rightarrow「{\hat f}の固有値f_nが実数」\)は成り立つ。
\(「{\hat f}の固有値f_nが実数」 \Rightarrow 「{\hat f}はエルミート演算子」\)の証明
$$\psi_1 = \sum_n c_n \psi_n,\;\;\; \psi_2 = \sum_m c_m \psi_m$$ と展開する。
さらに次の積分を計算する。 $$ \begin{eqnarray} \int dx \psi_1^\ast ({\hat f}\psi_2) &=& \int dx \sum_n c_n^\ast \psi_n^\ast ({\hat f\sum_m c_m \psi_m}) \\ &=& \sum_n\sum_m c_n^\ast c_m \int dx \psi_n^\ast \underbrace{{\hat f}\psi_m}_{(1)より、f_m\psi_m}\\ &=& \sum_n\sum_m c_n^\ast c_m f_m\int dx \psi_n^\ast\psi_m \\ &=& \sum_n\sum_m c_n^\ast c_m f_m\delta_{nm} \\ &=& \sum_n\sum_m c_n^\ast c_n f_n\tag{5} \end{eqnarray} $$
一方、次の積分を計算する。 $$ \begin{eqnarray} \int dx ({\hat f}\psi_1)^\ast \psi_2 &=& \int dx ({\hat f}\sum_n c_n\psi_n)^\ast\sum_m c_m \psi_m \\ &=& \sum_n\sum_m c_n^\ast c_m \int dx \underbrace{({\hat f}\psi_n)^\ast}_{(1)より、f_n\psi_n}\psi_m\\ &=& \sum_n\sum_m c_n^\ast c_m f_n^\ast \int dx \psi_n^\ast\psi_m \\ &=& \sum_n\sum_m c_n^\ast c_m f_n^\ast \delta_{nm} \\ &=& \sum_n\sum_m c_n^\ast c_n f_n^\ast\tag{6} \end{eqnarray} $$
ここで、 $$ f_n^\ast = f_n ({\hat f}の固有値f_nが実数) $$ より、(5) = (6)
よって $$ \int dx \psi_1^\ast ({\hat f}\psi_2) = \int dx ({\hat f}\psi_1)^\ast \psi_2 $$ より、\((\ast)\)と比較すると、\({\hat f}^\dagger = {\hat f}\)が成り立つので、\({\hat f}\)はエルミート演算子
よって、 \(「{\hat f}の固有値f_nが実数」 \Rightarrow 「{\hat f}はエルミート演算子」\)は成り立つ。
以上から$$「{\hat f}はエルミート演算子」 \Leftrightarrow「{\hat f}の固有値f_nが実数」は成り立つ。$$
