【量子力学】エルミート微分方程式で固有エネルギーを求めてみた！

今回はエルミート微分方程式を使って、固有エネルギーを求めてみましょう。

エルミート微分方程式はシュレディンガー方程式を書き換えて作ることができる方程式で、

$$
\left(-\frac{d^2}{d\xi^2}+2\xi\frac{d}{d\xi}\right)f(\xi) = (\lambda-1)f(\xi)
$$

という形をしています。

これを使って固有エネルギー

$$
E_n = \hbar \omega \left(n+\frac{1}{2}\right)
$$

を求めたいと思います。

エルミート微分方程式

エルミート微分方程式

シュレディンガー方程式を変形

調和振動子のシュレディンガー方程式

$$
-\frac{\hbar^2}{2m}\frac{d^2}{dx^2}\phi + \frac{m\omega^2x^2}{2}\phi = E\phi\tag{1}
$$

を考えます。

ここで、

$$
\begin{cases}
\xi = \sqrt{\frac{m\omega}{\hbar}}x\\
\lambda = \frac{2E}{\hbar\omega}\\
\phi = u(\xi)
\end{cases}\tag{2}
$$

と置きます。（これを無次元化といいます。）

無次元化

(1)式に(2)式を代入していきます。

(1)式の第一項は$\frac{d}{dx}=\frac{d\xi}{dx}\frac{d}{d\xi} = \sqrt{\frac{m\omega}{\hbar}}\frac{d}{d\xi}$より、

$$
\begin{eqnarray}
-\frac{\hbar^2}{2m}\frac{d^2}{dx^2}\phi &=& -\frac{\hbar^2}{2m}\frac{d}{dx}\left(\frac{d}{dx}u(\xi)\right) \\
&=& -\frac{\hbar^2}{2m}\frac{d\xi}{dx}\frac{d}{d\xi}\left( \frac{d\xi}{dx}\frac{d}{d\xi} u(\xi)\right) \\
&=& -\frac{\hbar^2}{2m} \sqrt{\frac{m\omega}{\hbar}} \frac{d}{d\xi}\left( \sqrt{\frac{m\omega}{\hbar}} \frac{d}{d\xi} u(\xi)\right) \\
&=& -\frac{\hbar^2}{2m} \frac{m\omega}{\hbar}\frac{d^2}{d\xi^2}u(\xi) \\
&=& -\frac{\hbar \omega }{2}\frac{d^2}{d\xi^2}u(\xi)
\end{eqnarray}\tag{3}
$$

となります。

第二項は

$$
\begin{eqnarray}
\frac{m\omega^2x^2}{2}\phi&=& \frac{m\omega^2 \frac {\hbar} {m\omega}\xi^2}{2}u(\xi) \\
&=& \frac{\hbar\omega}{2}\xi^2u(\xi)
\end{eqnarray} \tag{4}
$$

となります。

第三項は(2)式から$E = \frac{\hbar \omega}{2}\lambda$なので

$$
\begin{eqnarray}
E\phi &=& \frac{\hbar \omega}{2}\lambda u(\xi)\tag{5}
\end{eqnarray}
$$

(3),(4),(5)式から、(1)式は

$$
-\frac{\hbar \omega }{2}\frac{d^2}{d\xi^2}u(\xi) + \frac{\hbar\omega}{2}\xi^2u(\xi) = \frac{\hbar \omega}{2}\lambda u(\xi) \\
\left(-\frac{d^2}{d\xi^2}+ \xi^2\right) u(\xi) = \lambda u(\xi) \tag{6}
$$

となります。

$u(\xi) = e^{-\frac{\xi^2}{2}}f(\xi)$を代入

(6)式に

$$
u(\xi) = e^{-\frac{\xi^2}{2}}f(\xi)\tag{7}
$$

を代入します。

すると

$$
\left(-\frac{d^2}{d\xi^2}+ \xi^2\right) u(\xi) = \lambda u(\xi)\\
\left(-\frac{d^2}{d\xi^2}+ \xi^2\right) e^{-\frac{\xi^2}{2}}f(\xi) = \lambda e^{-\frac{\xi^2}{2}}f(\xi) \\
-\left(-e^{-\frac{\xi^2}{2}}f+\xi^2e^{-\frac{\xi^2}{2}}f-2\xi e^{-\frac{\xi^2}{2}} \frac{df}{d\xi} + e^{-\frac{\xi^2}{2}} \frac{d^2f}{d\xi^2} \right)+\xi^2 e^{-\frac{\xi^2}{2}} f = \lambda e^{-\frac{\xi^2}{2}}f(\xi) \\
e^{-\frac{\xi^2}{2}}f+2\xi e^{-\frac{\xi^2}{2}} \frac{df}{d\xi}- e^{-\frac{\xi^2}{2}} \frac{d^2\xi}{d\xi^2} = \lambda e^{-\frac{\xi^2}{2}}f(\xi) \\
\left(-\frac{d^2 }{d\xi^2}+2\xi\frac{d}{d\xi}\right)f=(\lambda -1)f
$$

となります。これをエルミート微分方程式と呼びます。