今回はエルミート微分方程式を使って、固有エネルギーを求めてみましょう。
エルミート微分方程式はシュレディンガー方程式を書き換えて作ることができる方程式で、
$$
\left(-\frac{d^2}{d\xi^2}+2\xi\frac{d}{d\xi}\right)f(\xi) = (\lambda-1)f(\xi)
$$
という形をしています。
これを使って固有エネルギー
$$
E_n = \hbar \omega \left(n+\frac{1}{2}\right)
$$
を求めたいと思います。
エルミート微分方程式
シュレディンガー方程式を変形
調和振動子のシュレディンガー方程式
$$
-\frac{\hbar^2}{2m}\frac{d^2}{dx^2}\phi + \frac{m\omega^2x^2}{2}\phi = E\phi\tag{1}
$$
を考えます。
ここで、
$$
\begin{cases}
\xi = \sqrt{\frac{m\omega}{\hbar}}x\\
\lambda = \frac{2E}{\hbar\omega}\\
\phi = u(\xi)
\end{cases}\tag{2}
$$
と置きます。(これを無次元化といいます。)
無次元化
(1)式に(2)式を代入していきます。
(1)式の第一項は\(\frac{d}{dx}=\frac{d\xi}{dx}\frac{d}{d\xi} = \sqrt{\frac{m\omega}{\hbar}}\frac{d}{d\xi}\)より、
$$
\begin{eqnarray}
-\frac{\hbar^2}{2m}\frac{d^2}{dx^2}\phi &=& -\frac{\hbar^2}{2m}\frac{d}{dx}\left(\frac{d}{dx}u(\xi)\right) \\
&=& -\frac{\hbar^2}{2m}\frac{d\xi}{dx}\frac{d}{d\xi}\left( \frac{d\xi}{dx}\frac{d}{d\xi} u(\xi)\right) \\
&=& -\frac{\hbar^2}{2m} \sqrt{\frac{m\omega}{\hbar}} \frac{d}{d\xi}\left( \sqrt{\frac{m\omega}{\hbar}} \frac{d}{d\xi} u(\xi)\right) \\
&=& -\frac{\hbar^2}{2m} \frac{m\omega}{\hbar}\frac{d^2}{d\xi^2}u(\xi) \\
&=& -\frac{\hbar \omega }{2}\frac{d^2}{d\xi^2}u(\xi)
\end{eqnarray}\tag{3}
$$
となります。
第二項は
$$
\begin{eqnarray}
\frac{m\omega^2x^2}{2}\phi&=& \frac{m\omega^2 \frac {\hbar} {m\omega}\xi^2}{2}u(\xi) \\
&=& \frac{\hbar\omega}{2}\xi^2u(\xi)
\end{eqnarray} \tag{4}
$$
となります。
第三項は(2)式から\(E = \frac{\hbar \omega}{2}\lambda\)なので
$$
\begin{eqnarray}
E\phi &=& \frac{\hbar \omega}{2}\lambda u(\xi)\tag{5}
\end{eqnarray}
$$
(3),(4),(5)式から、(1)式は
$$
-\frac{\hbar \omega }{2}\frac{d^2}{d\xi^2}u(\xi) + \frac{\hbar\omega}{2}\xi^2u(\xi) = \frac{\hbar \omega}{2}\lambda u(\xi) \\
\left(-\frac{d^2}{d\xi^2}+ \xi^2\right) u(\xi) = \lambda u(\xi) \tag{6}
$$
となります。
\(u(\xi) = e^{-\frac{\xi^2}{2}}f(\xi)\)を代入
(6)式に
$$
u(\xi) = e^{-\frac{\xi^2}{2}}f(\xi)\tag{7}
$$
を代入します。
すると
$$
\left(-\frac{d^2}{d\xi^2}+ \xi^2\right) u(\xi) = \lambda u(\xi)\\
\left(-\frac{d^2}{d\xi^2}+ \xi^2\right) e^{-\frac{\xi^2}{2}}f(\xi) = \lambda e^{-\frac{\xi^2}{2}}f(\xi) \\
-\left(-e^{-\frac{\xi^2}{2}}f+\xi^2e^{-\frac{\xi^2}{2}}f-2\xi e^{-\frac{\xi^2}{2}} \frac{df}{d\xi} + e^{-\frac{\xi^2}{2}} \frac{d^2f}{d\xi^2} \right)+\xi^2 e^{-\frac{\xi^2}{2}} f = \lambda e^{-\frac{\xi^2}{2}}f(\xi) \\
e^{-\frac{\xi^2}{2}}f+2\xi e^{-\frac{\xi^2}{2}} \frac{df}{d\xi}- e^{-\frac{\xi^2}{2}} \frac{d^2\xi}{d\xi^2} = \lambda e^{-\frac{\xi^2}{2}}f(\xi) \\
\left(-\frac{d^2 }{d\xi^2}+2\xi\frac{d}{d\xi}\right)f=(\lambda -1)f
$$
となります。これをエルミート微分方程式と呼びます。
固有エネルギー
エルミート微分方程式は
$$
\lambda = 2n+1 (n=0,1,2,\cdots)\tag{8}
$$
のときだけ解を持ちます。(この証明はまだ後日…)
よって、(2)式の
$$
\lambda = \frac{2E}{\hbar\omega}\\
$$
に(8)式を代入すると
$$
2n+1 =\frac{2E_n}{\hbar\omega}\\
E_n = \hbar \omega \left(n+\frac{1}{2}\right)
$$
となります。
このようにして調和振動子の固有エネルギー\(E_n\)が求まりました。
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[…] 今回は「【量子力学】エルミート微分方程式で固有エネルギーを求めてみた!」で使った […]