今回はハイゼンベルグ方程式を導いて、期待値が保存量かどうかを確かめていきたいと思います。
ハイゼンベルグ方程式は
$$
\frac{d}{dt}\langle A \rangle = \frac{1}{i\hbar}\left\langle \left[\hat A,\hat H\right]\right\rangle
$$
で表され、特に右辺で
$$
\left[\hat A,\hat H\right] =0
$$
が成立したとき
$$
\frac{d}{dt}\langle A \rangle = 0
$$
なので、（あるハミルトニアン\(\hat H\)において）期待値\(\langle A \rangle\)は保存するといえます。
最後に、これらの性質を使って位置の期待値\(\langle x \rangle\)と運動量の期待値\(\langle p \rangle\)が保存するかどうか確かめてみます。
では、まずハイゼンベルグ方程式を導いてみましょう。
ハイゼンベルグ方程式と保存量
ハイゼンベルグ方程式の導出
ある物理量\(A\)の演算子を\(\hat A\)とすると\(A\)の期待値は
$$
\langle A \rangle = \int \psi^{*} \hat A \psi d^3r\tag{1}
$$
と表されます。
（例えば運動量の期待値なら、運動量演算子\(\hat p\)を使って
$$
\langle p \rangle = \int \psi^{*} \hat p \psi d^3r
$$
と表される。）
保存量の条件
期待値\(\langle A \rangle\)が保存量になる条件は
$$
\frac{d}{dt}\langle A \rangle = 0\tag{2}
$$
となります。
これは、期待値が時間がたっても変化しないことを表しています。
代入
では、(2)式に(1)式を代入して変形していきます。
$$
\begin{eqnarray}
\frac{d}{dt}\langle A \rangle &=& \frac{d}{dt} \int \psi^{*} \hat A \psi d^3r \\
&=&\int \frac{d\psi^{*}}{dt} \hat A \psi d^3r + \int \psi^{*} \hat A \frac{d\psi}{dt} d^3r\\
&=& \int \underbrace{\frac{-1}{i\hbar} \hat H \psi^* }_{-i\hbar\frac{d\psi^*}{dt} = \hat H\psi^*}\hat A \psi d^3r + \int \psi^{*} \hat A \underbrace{\frac{1}{i\hbar}\hat H \psi}_{i\hbar \frac{d\psi}{dt}=\hat H \psi} d^3r \\
&=& \frac{-1}{i\hbar}\int \underbrace{\psi^{*} \hat H } _{\hat H のエルミート性 } \hat A \psi d^3r +\frac{1}{i\hbar} \int \psi^{*} \hat A\hat H \psi d^3r \\
&=& \frac{1}{i\hbar}\int \psi^*\left(\hat A \hat H – \hat H \hat A\right)\psi d^3r\\
&=& \frac{1}{i\hbar}\int \psi^*\left[\hat A ,\hat H\right]\psi d^3r\\
&=& \frac{1}{i\hbar}\langle\left[\hat A,\hat H\right]\rangle \tag{3}
\end{eqnarray}
$$
となります。
(3)式をハイゼンベルグ方程式と呼びます。
途中で時間に依存するシュレディンガー方程式
$$
i\hbar\frac{d\psi}{dt} = \hat H \psi
$$
と
$$
\int \left(\hat H \psi^*\right)\hat A \psi d^3 r = \int \psi^* \hat H \hat A \psi d^3 r
$$
という\(\hat H\)のエルミート性を使いました。
(3)のハイゼンベルグ方程式から
$$
\left[\hat A , \hat H\right] = 0\tag{4}
$$
ならば(2)式が成り立ち、\(\hat A\)は保存することが分かります。
具体例
では具体的にどのような演算子が(どのような\(\hat H\)のもと)保存するのか計算してみましょう。
今回は一次元の自由粒子のハミルトニアン\(\hat H\)
$$
\hat H = \frac{\hat p^2}{2m}
$$
のもと位置\(x\)と運動量\(p\)が保存するかどうか確かめてみましょう。
位置の期待値\(\langle x\rangle\)の場合
(4)式が成り立てば保存するかどうかが分かるので、これを計算していきます。
位置の演算子は\(\hat x\)なので
$$
\begin{eqnarray}
\left[\hat x,\hat H\right] &=& \left[ \hat x ,\frac{\hat p^2}{2m} \right]\\
&=& \frac{1}{2m}\left[ \hat x ,\hat p\hat p \right]\\
&=& \frac{1}{2m}\left(\hat p\underbrace{\left[\hat x, \hat p\right]}_{i\hbar}+\left[\hat x,\hat p\right]\hat p\right)\\
&=& \frac{i\hbar \hat p}{m}\tag{5}\\
\end{eqnarray}
$$
となります。これは０ではないので、位置の期待値\(\langle x\rangle\)は保存しないことが分かりました。
（式の途中で演算子の性質
$$
[C\hat A,\hat B] = C[\hat A,\hat B] (ただしCは定数)
$$
と
$$
[\hat A ,\hat B\hat C ] = \hat B [\hat A,\hat C] + [\hat A,\hat B]\hat C
$$
を使いました。）
運動量の期待値\(\langle p \rangle\)の場合
上の(5)式と同様に計算していきます。
運動量の演算子は\(\hat p\)なので
$$
\begin{eqnarray}
\left[\hat p,\hat H\right] &=& \left[ \hat p ,\frac{\hat p^2}{2m} \right]\\
&=& \frac{1}{2m}\left[ \hat p ,\hat p\hat p \right]\\
&=& \frac{1}{2m}\left(\hat p\underbrace{\left[\hat p, \hat p\right]}_{0}+\left[\hat p,\hat p\right]\hat p\right)\\
&=& 0\\
\end{eqnarray}
$$
となります。(4)式が0になったので、運動量の期待値\(\langle p\rangle\)は保存することが分かりました。
