【力学】半円板の重心と慣性モーメントを求めてみた

物理

今回は半円板の剛体について考えていきたいと思います。

半円板は重心が

$$
y_G = \frac{4a}{3\pi}
$$

重心まわりの慣性モーメントが

$$
I_G = \frac{1}{2}ma^2 – \frac{16a^2m}{9\pi^2}
$$

と少し複雑な結果になるので慎重に計算していきましょう。

これまで剛体の問題は「【力学】斜面を転がっていく剛体」や、「【慣性モーメント】円柱が段差を乗り上げる条件」などでやってきたように、院試では頻出などでしっかりと理解しておきましょう。



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半円板の剛体

上のような質量\(m\)で半径\(a\)の一様な薄い半円板を考えていきます。

点\(C\)から\(l\)の位置に半円板の重心があります。

重心の位置

\(y\)軸上の重心の位置\(y_G\)は

$$
y_G =l = \frac{\int_{S}ydS}{S}\tag{1}
$$

となります。(\(S\)は図形の面積)

実際にやってみましょう。

\(C \to G\)を\(y\)軸に取ります。

さらにこのとき、\(y = r\sin\theta\)と変数変換して面積分を行っていきます。

(1)式から重心\(y_G = l\)は

$$
\begin{eqnarray}
l &=& \frac{\int_{S}r\sin\theta dS}{S} \\
&=& \frac{\int_0^a\int_0^{\pi}r^2\sin\theta d\theta dr}{\frac{1}{2}\pi a^2}\\
&=& \frac{4a}{3\pi}\tag{2}
\end{eqnarray}
$$

となります。(途中の\(r^2\)はヤコビアンで\(r\)がついたため)

重心まわりの慣性モーメント

次に重心まわりの慣性モーメント\(I_G\)を求めていきたいと思います。

いきなり\(I_G\)を求めることはできないので、まずは\(C\)点まわりの慣性モーメント\(I_C\)を求めてから、平行軸の定理を使っていきます。

\(C\)点まわりの慣性モーメント\(I_C\)

\(C\)まわりの慣性モーメントは

微小の重さ\(\Delta m\)を考え、それを積分します。

$$
\Delta m = \sigma \pi r \Delta r \left(\sigma = \frac{m}{\frac{1}{2}\pi a^2} は半円板の面密度\right)\tag{3}
$$

より、これを積分すると

$$
\begin{eqnarray}
I_C &=& \int_S r^2 dm\\
&=& \int_S r^2 \sigma \pi r dr \\
&=& \int_{0}^{a} r^3 \sigma \pi dr \\
&=& \frac{1}{2}ma^2\tag{4}
\end{eqnarray}
$$

となります。

平行軸の定理

次に\(I_G\)を求めていきます。

平行軸の定理から

$$
I_C = I_G +ml^2
$$

なので、(2)(4)式から

$$
\begin{eqnarray}
I_G &=& I_C – ml^2\\
&=& \frac{1}{2}ma^2 – m\left(\frac{4a}{3\pi}\right)^2 \\
&=& \frac{1}{2}ma^2 – \frac{16ma^2}{9\pi^2}
\end{eqnarray}
$$

となります。

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コメント

  1. […] 今回は「【力学】半円板の重心と慣性モーメントを求めてみた」で扱った半円板の運動を解析してみたいと思います。 […]

  2. […] (「【力学】半円板の重心と慣性モーメントを求めてみた」でも使いました。) […]

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