【ガウスの法則】物質中でも真空の誘電率は使えるか？

こんにちは

今日は誘電体中のガウスの法則について紹介していきたいと思います。

ガウスの法則は物質中でも\(\epsilon_0\)使ってよいのか

理学部の学生ならだれもが通る道であるこの「ガウスの法則」ですが、正直使い方を今までよくわかってませんでした。

たとえば、誘電体の中にできる電場です。

ご存知の通りこのガウスの法則は以下のような形で書けますね。

$$\int {\bf E} \cdot d{\bf S} = \frac{q}{\epsilon _{0} }$$

（ただし\(\epsilon_0\)は真空の誘電率）

ここで、ぼくは困ってしまったわけです。

誘電体の中なのにも関わらず、真空の誘電率である\(\epsilon_0\)を使ってもよいのかと…。

正直訳が分からなくなってしまったので、ググってみました。

ガウスの法則は誘電体中でも使ってよい

結果からいうと、ガウスの法則は誘電体中でも使ってよいのです。

というか、ガウスの法則にの右辺にある\(\epsilon _{0}\)は物質中に電場を作ろうと、物質中の誘電率\(\epsilon\)にはなりません。\(\int {\bf E} \cdot d{\bf S} = \frac{q}{\epsilon }\)にはならないよーということ）

ではなぜそのようなことが許されるのかを説明していきます。

具体例で考える

話が少し抽象的なので、具体例を出していきます。

誘電体が半径\(a\)の導体を囲んでいて、導体に電荷\(q\)を与えたときのことを考えます。

このとき、導体の中心から\(r\)離れた場所に作る電場を求めます。ただしr > a

このとき、ガウスの法則\(\int {\bf E} \cdot d{\bf S} = \frac{Q}{\epsilon _{0} }\)を使って計算していきます。

しかしここで一つ注意なのが、右辺の\(Q\)です。

ガウスの法則での\(Q\)は、全電荷を表しています。

つまり、導体に接している誘電体の表面に現れる分極電荷も足し合わせなくてはいけません。

つまり、分極電荷を\(-q’\)とすると、電場\({\bf E}\)は

$$\int {\bf E} \cdot d{\bf S} = \frac{q-q’}{\epsilon _{0} }$$

$$ {\bf E} \cdot 4\pi {\bf r}^2 = \frac{q-q’}{\epsilon _{0} }$$

（ \( 4\pi r^2\)は半径\(r\)の表面積）

$$ {\bf E} = \frac{q-q’}{4\pi \epsilon _{0} r^2}$$

となります。

これが正解になります。

電気力線の本数を考えよう

なぜこのようになるのでしょう？

それは、ガウスの法則が電気力線の本数を表した式だからです。

知っての通り、分極電荷は真電荷によって現れます。

そして分極電荷は真電荷の電気力線の本数を減らします。

なので、真空中での電場と物質中の電場は異なるわけですが、ここで別の考え方をしてみましょう。

どうするかというと、導体の中心に\(q-q’\)の電荷があると考えるのです。

このように考えると、導体が発している電気力線の本数は物体中にあるときと同じなので

真空中に電荷\(q-q’\)の導体があると考えてよいのです。

よって、物質の誘電率\(\epsilon\)は真空の誘電率\(\epsilon_0\)に変わります。

つまりガウスの法則の右辺の\(\epsilon_0\)は物質中の場合であれ、真空中の場合であれ常に変わらないのです。

\(\int{\bf D} \cdot d{\bf S} = {Q}\)　電束密度を考える

余談ですが、電束密度で書いたガウスの法則は

$$\int {\bf D} \cdot d{\bf S} = {Q}$$

と書きます。

電束密度は媒質の誘電率には依存せず、閉曲面内に含まれる真電荷のみに依存します。

なので、このときのQは真電荷であり、分極電荷を含んでいません。よって、電場を計算するときは

上と同じ例を考えると、真電荷なので、物質中の電場\(E\)を求めるときは\(\epsilon\)を使います。

$$ D=\epsilon E$$

を使って

$$E=\frac{q}{4\pi \epsilon r^2}$$

となります。