今回はガウス関数に比例する確率分布の期待値と分散を求めていきたいと思います。
期待値や分散は確率分布の形や意味を知る上で大いに役立ちます。
確率分布の中でも特に有名であり、様々な場面で使われることが多いガウス分布を例にそれらを求めていきましょう。
問題設定
ある現象の確率分布\(p(x)\)が以下のようにガウス分布に比例するとする。 $$ p(x) = A\exp(-\alpha(x – x_0)^2) $$ ただし、\(\alpha,\;x_0,\;A\)は正で変数\(x\)は（\(-\infty \leq x \leq \infty\)）の間を取る。
解法
規格化
ではまず、規格化をしてAを求めてみましょう。
\(p(x)\)を\(x\)の全範囲（\(-\infty \leq x \leq \infty\)）で積分すると、確率は１になるので
$$ \int_{-\infty}^{\infty}dx\;A\exp(-\alpha(x-x_0)^2) = 1 $$ となります。これを計算します。
ガウス関数の積分は $$ \int_{-\infty}^{\infty}dx\;e^{-ax^2} = \sqrt{\frac{\pi}{a}} $$ より、
$$ \begin{eqnarray} 1 &=& \int_{-\infty}^{\infty}dx\;A\exp(-\alpha(x-x_0)^2) \\ &=& A\sqrt{\frac{\pi}{\alpha}} \end{eqnarray} $$ となります。よって、
$$ A = \sqrt{\frac{\alpha}{\pi}} $$
なので、 $$ p(x) = \sqrt{\frac{\alpha}{\pi}}\exp(-\alpha(x-x_0)^2) $$ となります。
期待値
では次に期待値を求めていきます。
\(p(x)\)の期待値は
$$ E = \int_{-\infty}^{\infty}dx\;xp(x) $$ となるので、これを計算すると、
$$ \begin{eqnarray} E &=& \int_{-\infty}^{\infty}dx\;x\sqrt{\frac{\alpha}{\pi}}\exp(-\alpha(x-x_0)^2) \\ &=& \sqrt{\frac{\alpha}{\pi}}\int_{-\infty}^{\infty}dx\;x\exp(-\alpha(x-x_0)^2) \tag{1} \end{eqnarray} $$ ここで、
\((x-x_0) = t\)とすると、(1)式は
$$ \begin{eqnarray} E &=& \sqrt{\frac{\alpha}{\pi}}\int_{-\infty}^{\infty}dx\;x\exp(-\alpha(x-x_0)^2) \\ &=& \sqrt{\frac{\alpha}{\pi}}\int_{-\infty}^{\infty}dt\;(t+x_0)e^{-\alpha t^2} \\ &=& \sqrt{\frac{\alpha}{\pi}}\left(\underbrace{\int_{-\infty}^{\infty}dt\;t e^{-\alpha t^2}}_{①} + \underbrace{\int_{-\infty}^{\infty}dt\;x_0 e^{-\alpha t^2}}_{②}\right) \end{eqnarray} $$
このとき①は $$ ① = \int_{-\infty}^{\infty}dt\;t e^{-\alpha t^2} = \left[-\frac{1}{2\alpha}e^{-\alpha t^2}\right]_{-\infty}^{\infty} = 0 $$
②はガウスの公式を使って $$ ② = \int_{-\infty}^{\infty}dt\;x_0 e^{-\alpha t^2} = x_0\sqrt{\frac{\pi}{\alpha}} $$ なので
$$ E = \sqrt{\frac{\alpha}{\pi}}\left(0 + x_0\sqrt{\frac{\pi}{\alpha}}\right) = x_0 $$ よって、期待値は\(x_0\)となります。
分散
分散は $$ V = \int_{-\infty}^{\infty}dx\;(x – E)^2 p(x) $$ となるのでこれを計算すると、
$$ \begin{eqnarray} V &=& \int_{-\infty}^{\infty}dx\;(x – E)^2 \sqrt{\frac{\alpha}{\pi}}\exp(-\alpha (x-x_0)^2) \\ &=& \sqrt{\frac{\alpha}{\pi}}\int_{-\infty}^{\infty}dx\;(x – x_0)^2 \exp(-\alpha (x-x_0)^2)\tag{2} \end{eqnarray} $$
ここで\(t = x-x_0\)とおくと、(2)式は
$$ \begin{eqnarray} V &=& \sqrt{\frac{\alpha}{\pi}}\int_{-\infty}^{\infty}dt\;t^2 e^{-\alpha t^2} \\ &=& \sqrt{\frac{\alpha}{\pi}}\int_{-\infty}^{\infty}dt\left(-\frac{\partial}{\partial \alpha}e^{-\alpha t^2}\right)\\ &=& -\sqrt{\frac{\alpha}{\pi}}\frac{\partial}{\partial \alpha}\left(\int_{-\infty}^{\infty}dt e^{-\alpha t^2}\right) \\ &=& -\sqrt{\frac{\alpha}{\pi}}\frac{\partial}{\partial \alpha}\sqrt{\frac{\pi}{\alpha}}\\ &=& -\sqrt{\frac{\alpha}{\pi}}\left(-\frac{1}{2\alpha}\sqrt{\frac{\pi}{\alpha}}\right)\\ &=& \frac{1}{2\alpha} \end{eqnarray} $$ となります。
