【特殊関数】ガンマ関数の性質

ガンマ関数は特殊関数と呼ばれ

$$ \Gamma(x) = \int_{0}^{\infty}dt\;e^{-t}t^{x-1} \tag{1}$$ と定義されます。

今回はこのガンマ関数の性質について解説したいと思います。

\(\Gamma(x+1)=x\Gamma(x)\)

\(\Gamma(x+1)=x\Gamma(x)\)を証明します。

(1)式の\(x\)の代わりに\(x+1\)を代入します。

すると、

$$ \Gamma(x+1) = \int_{0}^{\infty}dt\;e^{-t}t^{x}\tag{2} $$ となります。

部分積分

ここで、(2)式の右辺に部分積分を行います。

$$ \int_{0}^{\infty}dt\;e^{-t}t^{x} = \left[-e^{-t}t^{x}\right]_{0}^{\infty}+x\int_{0}^{\infty}dt\;e^{-t}t^{x-1}\tag{3} $$

第一項

ここで(3)右辺の第一項は $$ \begin{eqnarray} \left[-e^{-t}t^{x}\right]_{0}^{\infty}&=&\underbrace{-e^{-\infty}\infty^{x}}_{全体として0に収束}-(-e^{-0}0^{x})\\ &=& 0\tag{4} \end{eqnarray} $$ となります。

第二項

また(3)右辺の第二項は $$ x\int_{0}^{\infty}dt\;e^{-t}t^{x-1} = x\Gamma(x)\tag{5} $$ となります。

代入

よって(2),(4),(5)式から $$ \Gamma(x+1)=x\Gamma(x)\tag{6} $$ は成り立ちます。

\(\Gamma(n+1)=n!\)

今度は

$$ \Gamma(n+1)=n!\;\;\;(nは自然数) $$

を証明します。

置き換え

(6)式から、\(x\)を\(n\)に置き換えると

$$ \Gamma(n+1)=n\Gamma(n)\tag{7} $$

となります。

さらに(6)式の\(x\)を\(n-1\)に置き換えると

$$ \Gamma(n) = (n-1)\Gamma(n-1)\tag{8} $$

となります。

(8)式を(7)式に代入すると

$$ \Gamma(n+1)=n(n-1)\Gamma(n-1) $$

となります。

繰り返し

これを繰り返すと、

$$ \Gamma(n+1)=n(n-1)(n-2)\cdots 2\cdot 1\Gamma(1)\tag{9} $$

となります。

\(\Gamma(1)\)の計算

ここで、(1)式から $$ \begin{eqnarray} \Gamma(1) &=& \int_{0}^{\infty}dt\;e^{-t}t^{1-1}\\ &=&\int_{0}^{\infty}dt\;e^{-t}\\ &=&1 \end{eqnarray} $$

となります。

代入

よって(9)式に代入して

$$ \Gamma(n+1)=n(n-1)(n-2)\cdots 2\cdot 1 $$

すなわち $$ \Gamma(n+1)=n! $$

は成り立ちます。