ガンマ関数は特殊関数と呼ばれ
$$ \Gamma(x) = \int_{0}^{\infty}dt\;e^{-t}t^{x-1} \tag{1}$$ と定義されます。
今回はこのガンマ関数の性質について解説したいと思います。
\(\Gamma(x+1)=x\Gamma(x)\)
\(\Gamma(x+1)=x\Gamma(x)\)を証明します。
(1)式の\(x\)の代わりに\(x+1\)を代入します。
すると、
$$ \Gamma(x+1) = \int_{0}^{\infty}dt\;e^{-t}t^{x}\tag{2} $$ となります。
部分積分
ここで、(2)式の右辺に部分積分を行います。
$$ \int_{0}^{\infty}dt\;e^{-t}t^{x} = \left[-e^{-t}t^{x}\right]_{0}^{\infty}+x\int_{0}^{\infty}dt\;e^{-t}t^{x-1}\tag{3} $$
第一項
ここで(3)右辺の第一項は $$ \begin{eqnarray} \left[-e^{-t}t^{x}\right]_{0}^{\infty}&=&\underbrace{-e^{-\infty}\infty^{x}}_{全体として0に収束}-(-e^{-0}0^{x})\\ &=& 0\tag{4} \end{eqnarray} $$ となります。
第二項
また(3)右辺の第二項は $$ x\int_{0}^{\infty}dt\;e^{-t}t^{x-1} = x\Gamma(x)\tag{5} $$ となります。
代入
よって(2),(4),(5)式から $$ \Gamma(x+1)=x\Gamma(x)\tag{6} $$ は成り立ちます。
\(\Gamma(n+1)=n!\)
今度は
$$ \Gamma(n+1)=n!\;\;\;(nは自然数) $$
を証明します。
置き換え
(6)式から、\(x\)を\(n\)に置き換えると
$$ \Gamma(n+1)=n\Gamma(n)\tag{7} $$
となります。
さらに(6)式の\(x\)を\(n-1\)に置き換えると
$$ \Gamma(n) = (n-1)\Gamma(n-1)\tag{8} $$
となります。
(8)式を(7)式に代入すると
$$ \Gamma(n+1)=n(n-1)\Gamma(n-1) $$
となります。
繰り返し
これを繰り返すと、
$$ \Gamma(n+1)=n(n-1)(n-2)\cdots 2\cdot 1\Gamma(1)\tag{9} $$
となります。
\(\Gamma(1)\)の計算
ここで、(1)式から $$ \begin{eqnarray} \Gamma(1) &=& \int_{0}^{\infty}dt\;e^{-t}t^{1-1}\\ &=&\int_{0}^{\infty}dt\;e^{-t}\\ &=&1 \end{eqnarray} $$
となります。
代入
よって(9)式に代入して
$$ \Gamma(n+1)=n(n-1)(n-2)\cdots 2\cdot 1 $$
すなわち $$ \Gamma(n+1)=n! $$
は成り立ちます。
コメント
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