今回はフーコーの振り子の挙動を、数式で導出していきたいと思います。
特に、振動面が単位時間あたりにどれだけ動くかを計算していきたいと思います。
近似やコリオリ力が出てきて大変ですが、慎重にやっていきましょう。
フーコーの振り子
図
長さ\(l\)の糸の先に質量\(m\)の重りをつけた振り子があります。
この振り子を南緯\(\alpha\)の位置に置き、微小角度\(\theta\)で振動させ、振動面の\(x, y\)平面への正射影と\(x\)軸正方向とのなす角を\(\psi\)とします。
\(x\), \(y\) , \(z\)軸をそれぞれ、東、北、鉛直上向きにとり、 地球の自転の角速度を\(\omega\)と置きます。
力の向き
では、おもりに掛かる力の向きを考えましょう。
このように重量がかかっているので、振動する方向にかかる力は\(mg\sin\theta\)です。
ここで\(\theta \)が微小であることを利用すると、
$$
mg\sin\theta \sim mg\theta
$$
と近似できます。この力によって、振り子は単振動します。
力の向き(上から見下ろす)
次に上方向から振り子を見下ろすことで、力の向きを\(x,y\)方向に成分を分けます。
先ほど求めた\(mg\theta\)を\(x,y\)方向の分けます。おもりと\(z\)軸の距離を\(r\)とすると、
$$
\begin{cases}
x軸:f_x = mg\theta\cos\psi = mg\theta\frac{x}{r}\\
y軸:f_y = mg\theta\sin\psi = mg\theta\frac{y}{r}
\end{cases}
$$
となります。
ここから、運動方程式を立てます。\(l\theta = r\)の関係から、
$$
\begin{cases}
x軸:m{\ddot x} = -mg\theta\frac{x}{r} = -mg\frac{r}{l}\frac{x}{r} = -mg\frac{x}{l}\\
y軸:m{\ddot y} = -mg\theta\frac{y}{r} = -mg\frac{r}{l}\frac{y}{r} = -mg\frac{y}{l}
\end{cases}\tag{1}
$$
となります。
コリオリ力
(1)式にコリオリ力を加えます。
振り子に掛かるコリオリ力\(f_{c}\)は、
$$
f_{c} = 2m{\bf v}\times{\bf \omega}\tag{2}
$$
となります。
\( {\bf v},{\bf \omega} \)を求める
では\( {\bf v},{\bf \omega} \)を求めましょう。
今、\(y\)軸方向を北にしているので、\({\bf \omega} = \left( \begin{array}{c} 0 \\ \omega\cos\alpha \\ -\omega\sin\alpha \\ \end{array} \right) \)
となります。また、
$$
{\bf v} = \left( \begin{array}{c} {\dot x} \\ {\dot y} \\ 0 \\ \end{array} \right)
$$
よって、コリオリ力は
$$
f_c = 2m \left( \begin{array}{c} -{\dot y}\omega\sin\alpha \\ {\dot x}\omega\sin\alpha \\ {\dot x}\omega\cos\alpha \\ \end{array} \right) \tag{3}
$$
となります。
運動方程式を解く
では、(1)式に(3)式の\(x,y\)成分を代入すると、
$$
\begin{cases}
m{\ddot x} = -mg\frac{x}{l} -2m{\dot y}\omega\sin\alpha (4)\\
m{\ddot y} = -mg\frac{y}{l}+2m{\dot x}\omega\sin\alpha (5)
\end{cases}
$$
となります。これを解きます。
\((5)\times \frac{x}{m} – (4)\times \frac{y}{m}\) として、
$$
\begin{eqnarray}
x{\ddot y}-{\ddot x}y &=& 2\omega\sin\alpha(x{\dot x} + y{\dot y})\\
\frac{d}{dt}(x{\dot y}-{\dot x}y)&=&2\omega\sin\alpha\frac{d}{dt}\left(\frac{1}{2}(x^2 + y^2)\right)
\end{eqnarray}
$$
\(t\)で積分すると、
$$
x{\dot y}-{\dot x}y=\omega\sin\alpha(x^2 + y^2)\tag{6}
$$
ここで、
$$
\begin{eqnarray}
x=r\cos\psi\\
y=r\sin\psi
\end{eqnarray}
$$
を使って(6)式を変形すると、
$$
\frac{d\psi}{dt}=\omega\sin\alpha
$$
となります。
これは、時間当たりに振動面がどれだけ回転するかを表したものです。
南極や北極では振動面が一日に一回転することが分かります。
参考
