今回は強制振動について解説したいと思います。
おもりを強制振動したときの位置を求めますが、式が複雑になりがちなので慎重にやっていきましょう。
強制振動を解く
図
ばね定数\(k\)のばねにつながれた、重さ\(m\)の物体があります。
この物体に周期的な外力\(f\cos\omega t\)を加えます。 また、速度\(v={\dot x}\)に比例する空気抵抗の大きさを\(Bv\)とします。
外力の向きを\(x\)軸方向にしたとき、このおもりの位置\(x(t)\)を求めていきます。
おもりの運動方程式
では、解いていきましょう。
上の図で示したように、外力とばねの復元力・空気抵抗の力の向きが違うことに注意して、 おもりの運動方程式を立てると、
$$
m{\ddot x} = -kx -B{\dot x} +f\cos\omega t\tag{1}
$$
となります。
減衰振動の一般解
式変形
(1)式を変形すると、
$$
{\ddot x} +\frac{B}{m}{\dot x}+ \frac{k}{m}x = \frac{f}{m}\cos\omega t\tag{2}
$$
となります。
係数がめんどくさいのでそれぞれ
\begin{cases}
\alpha = \frac{B}{m}\\
\beta = \frac{k}{m}\\
\gamma = \frac{f}{m}
\end{cases}
とすると、(2)式は
$$
{\ddot x} +\alpha{\dot x}+ \beta x = \gamma\cos\omega t\tag{3}
$$
となります。
減衰振動解
ここで、(3)式の外力部分を0とおき、減衰していく解を求めます。
$$
{\ddot x} +\alpha{\dot x}+ \beta x = 0\tag{4}
$$
これを\(x = e^{\lambda t}\)と置いて(4)式に代入すると、
$$
\lambda^2 +\alpha\lambda+ \beta = 0 \tag{5}
$$
(5)式の解は
$$
\lambda = a\pm ib (a< 0)
$$
と書けます。
よって、減衰振動の解は
$$
x = e^{a\pm ib t}=e^{at}e^{ibt}=e^{at}(C_1\cos bt+C_2\sin bt)\tag{6}
$$
となります。
特解
つぎに(3)式の特解を求めたいと思います。
手順は二つで
- \(x\)の形を外力の形から推測
- 式を比較して、定数を求める
となります。一つずつ見ていきましょう。
\(x\)の形を外力の形から推測
今、外力の形は\(f\cos\theta\)となっているので、\(x = \delta\cos(\omega t + \phi)\)と類推できます。
これを(3)式に代入して整理すると、
$$
\begin{eqnarray}
-\delta\omega^2\cos(\omega t -\phi)-\alpha\delta\omega\sin(\omega t -\phi) + \beta \delta \cos(\omega t -\phi) &=& \gamma \cos \omega t\\
\delta\{(\beta – \omega^2)\cos(\omega t -\phi)-\alpha \omega \sin(\omega t – \phi)\} = \gamma\cos\omega t\tag{7}
\end{eqnarray}
$$
となります。
次は(7)式の両辺を比較し、\(\delta, \phi\)を決めていきます。
しかし、このままでは左辺に\(\cos,\sin\)が入り混じっていて比較ができません。
よってここで考えるのが、三角関数の合成です。
式を比較して、定数を求める
まず、\(l = \sqrt{(\beta – \omega)^2 + (\alpha\omega)^2}\)とおき、(7)式を変形すると、
$$
\delta l\{\underbrace{\frac{\beta – \omega^2}{l}}_{\cos\psi}\cos(\omega t -\phi)-\underbrace{\frac{\alpha}{l} \omega }_{\sin\psi}\sin(\omega t – \phi)\} = \gamma\cos\omega t \tag{8}
$$
さらに、
$$
\cos\psi = \frac{\beta – \omega^2}{l} \\
\sin\psi = \frac{\alpha\omega}{l}
$$
と置いて(8)式に代入すると、
$$
\delta l\{\cos\psi\cos(\omega t -\phi)-\sin\psi \sin(\omega t – \phi)\} = \gamma\cos\omega t\tag{9}
$$
となります。
三角関数の合成の公式
$$
\cos(a+b) = \cos a\cos b – \sin a\sin b
$$
より、 (9)は
$$
\delta l\cos(\omega t-\phi +\psi) = \gamma\cos\omega t\tag{10}
$$
となります。
係数を比較すると、
$$
\begin{cases}
\delta = \frac{\gamma}{l} = \frac{\gamma}{ \sqrt{(\beta – \omega)^2 + (\alpha\omega)^2} }\\
\phi = \psi = \tan^{-1}\frac{\alpha \omega}{\beta-\omega^2}
\end{cases}
$$
となります。
よって特解は
$$
x = \delta \cos (\omega t -\phi)\\\left(ただし、 \delta = \frac{\gamma}{ \sqrt{(\beta – \omega)^2 + (\alpha\omega)^2} } , \phi = \tan^{-1}\frac{\alpha \omega}{\beta-\omega^2} \right)\tag{11}
$$
となります。
強制振動の解
よって最終的な答えは、一般解(6)式と特解(11)式の足し算になっているので
$$
x(t) =e^{at}(C_1\cos bt+C_2\sin bt) + \delta \cos (\omega t -\phi)\\
\left(ただし、 \delta = \frac{\gamma}{ \sqrt{(\beta – \omega)^2 + (\alpha\omega)^2} } , \phi = \tan^{-1}\frac{\alpha \omega}{\beta-\omega^2} \right)
$$
となります。
