【電磁気】有限の直線電流から生じる磁場の大きさを求めてみた!

物理

今回は「有限の直線電流から生じる磁場の大きさ」について解説したいと思います。

この値は

$$
H = \frac{I}{4\pi l}(\cos\theta_1 + \cos\theta_2)
$$

となっています。

無限に長い直線電流の場合と違い、磁場の分布が分からない(軸対称ではない)のでアンペールの法則が使いづらいです。

よってビオサバールの法則を用いて値を求めていきます。

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有限の直線電流から生じる磁場の大きさ

有限の長さの直線導線に電流\(I\)を流します。

上端、下端からの角度がそれぞれ\(\theta_1,\theta_2\)、導線からの距離が\(l\)の場所の磁場の大きさを求めます。

方針

この問題を解く際の方針としては

  1. ビオサバールの法則を使う際に必要な情報の列挙
  2. ビオサバールでひたすら計算

となります。いい計算の練習になりますね。

ビオサバールの法則を使う際に必要な情報の列挙

ビオサバールの法則は

$$
H = \frac{1}{4\pi}\int \frac{I \bf dr’\times (r-r’)}{|r-r’|^3}
$$

なので、必要な情報は

\begin{cases}
電流素片Id\bf r’\\
磁場の大きさを求める位置\bf r
\end{cases}

の3つです。それぞれ求めていきましょう。

電流素片\(Id\bf r’\)

電流の流れている方向を\(z\)軸とすると、その電流素片は

$$
Id{\bf r’} = I\begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ dz\end{pmatrix}
$$

となります。

ちなみに

$$
{\bf r’} = \begin{pmatrix}0\\0\\z\end{pmatrix}
$$

となっています。

磁場の大きさを求める位置\(\bf r\)

磁場の大きさを求める位置\(\bf r \)は\(l\)の方向を\(x\)軸とすると

$$
{\bf r} = \begin{pmatrix}l \\ 0 \\ 0\end{pmatrix}
$$

となります。

ビオサバールでひたすら計算

では、ビオサバールの法則でひたすら計算していきます。

下準備として

\begin{eqnarray}
\bf dr’\times (r-r’) &=& \begin{pmatrix} 0\\0\\dz\end{pmatrix} \times \begin{pmatrix}l\\ 0\\-z \end{pmatrix}\\
&=& \begin{pmatrix} 0\\ ldz \\ 0\end{pmatrix}
\end{eqnarray}

さらに、

$$
|r – r’|^3 = (l^2 + z^2)^{\frac{3}{2}}
$$

を計算しておきます。

では

$$
H = \frac{1}{4\pi}\int \frac{I \bf dr’\times (r-r’)}{|r-r’|^3}
$$

にこれらの値を代入していきます。

\begin{eqnarray}
H &=& \frac{1}{4\pi}\int \frac{I \bf dr’\times (r-r’)}{|r-r’|^3} \\
&=& \frac{1}{4\pi}\int \frac{Ildz}{ (l^2 + z^2)^{\frac{3}{2}}}\\
&=& \frac{1}{4\pi}\int_{\theta_2}^{\pi – \theta_1} \frac{Il^2\sin\theta d\theta}{ l^3} (z = l\cot\thetaとおく)\\
&=& \frac{I}{4\pi l}(\cos\theta_1 + \cos\theta_2)
\end{eqnarray}

と計算できます。

参考

今回はこちらの本を参考にさせていただきました。ぜひチェックしてみてください。

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