今回は「有限の直線電流から生じる磁場の大きさ」について解説したいと思います。
この値は
$$
H = \frac{I}{4\pi l}(\cos\theta_1 + \cos\theta_2)
$$
となっています。
無限に長い直線電流の場合と違い、磁場の分布が分からない(軸対称ではない)のでアンペールの法則が使いづらいです。
よってビオサバールの法則を用いて値を求めていきます。
電磁気の参考書
今回は
で紹介されている方法を参考にしました。
他にも「【難関大学院向け】院試で役に立った数学・物理の参考書」では院試の際には本当に助けられたえりすぐりの院試参考書をまとめてみたので、興味があればぜひ。
有限の直線電流から生じる磁場の大きさ
有限の長さの直線導線に電流\(I\)を流します。
上端、下端からの角度がそれぞれ\(\theta_1,\theta_2\)、導線からの距離が\(l\)の場所の磁場の大きさを求めます。
方針
この問題を解く際の方針としては
- ビオサバールの法則を使う際に必要な情報の列挙
- ビオサバールでひたすら計算
となります。いい計算の練習になりますね。
ビオサバールの法則を使う際に必要な情報の列挙
ビオサバールの法則は
$$
H = \frac{1}{4\pi}\int \frac{I \bf dr’\times (r-r’)}{|r-r’|^3}
$$
なので、必要な情報は
\begin{cases}
電流素片Id\bf r’\\
磁場の大きさを求める位置\bf r
\end{cases}
の3つです。それぞれ求めていきましょう。
電流素片\(Id\bf r’\)
電流の流れている方向を\(z\)軸とすると、その電流素片は
$$
Id{\bf r’} = I\begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ dz\end{pmatrix}
$$
となります。
ちなみに
$$
{\bf r’} = \begin{pmatrix}0\\0\\z\end{pmatrix}
$$
となっています。
磁場の大きさを求める位置\(\bf r\)
磁場の大きさを求める位置\(\bf r \)は\(l\)の方向を\(x\)軸とすると
$$
{\bf r} = \begin{pmatrix}l \\ 0 \\ 0\end{pmatrix}
$$
となります。
ビオサバールでひたすら計算
では、ビオサバールの法則でひたすら計算していきます。
下準備として
\begin{eqnarray}
\bf dr’\times (r-r’) &=& \begin{pmatrix} 0\\0\\dz\end{pmatrix} \times \begin{pmatrix}l\\ 0\\-z \end{pmatrix}\\
&=& \begin{pmatrix} 0\\ ldz \\ 0\end{pmatrix}
\end{eqnarray}
さらに、
$$
|r – r’|^3 = (l^2 + z^2)^{\frac{3}{2}}
$$
を計算しておきます。
では
$$
H = \frac{1}{4\pi}\int \frac{I \bf dr’\times (r-r’)}{|r-r’|^3}
$$
にこれらの値を代入していきます。
\begin{eqnarray}
H &=& \frac{1}{4\pi}\int \frac{I \bf dr’\times (r-r’)}{|r-r’|^3} \\
&=& \frac{1}{4\pi}\int \frac{Ildz}{ (l^2 + z^2)^{\frac{3}{2}}}\\
&=& \frac{1}{4\pi}\int_{\theta_2}^{\pi – \theta_1} \frac{Il^2\sin\theta d\theta}{ l^3} (z = l\cot\thetaとおく)\\
&=& \frac{I}{4\pi l}(\cos\theta_1 + \cos\theta_2)
\end{eqnarray}
と計算できます。
