【物理光学】ファブリペロー干渉による透過平面波の強度比を計算してみた

ファブリペロー干渉計の原理について計算していきます。

ファブリペロー干渉計とは2つの反射面を平行に配置することで、取り出したい波長の光だけを透過させることのできる干渉計のことです。

今回はそのようにして透過平面波の強度比の最大値、最小値を求めていきたいと思います。

ファブリペロー干渉計
透過波
参考

ファブリペロー干渉計

真空中に置かれた厚さ $d$、屈折率$n$、の誘電体に波長$\lambda$の平面波が入射することを考える。波は内部で反射して反射波と透過波をつくり、互いに干渉する。図のように、ある場所に入射した波$W$に注目し、それが内部で$2m$回反射して反対側に透過した波を$W_m$とする。ここで、$W$の電場の振幅を$E_i$, 誘電体に入射したあとの角度を$\theta$とする。

透過波

位相差

まず、$W_m$と$W_{m+1}$の位相差$\phi$を考えます。

位相差は光路差に$\frac{2\pi}{\lambda}$をかけたものに相当します。

光路差は高校の物理で薄膜干渉の光路差求めたことがあると思います。

$$ 2nd\cos\theta $$ となります。

これが光路差であり、これに$\frac{2\pi}{\lambda}$をかけたもの

$$ \phi = \frac{4\pi nd\cos\theta}{\lambda} $$

が位相差になります。

$W_m$の振幅を求める

それでは次に$W_m$の電場の振幅$E_m$を求めます。

その際、以下のような定数を定めます。

\begin{eqnarray} \begin{cases} 真空中から誘電体へ入射するときの透過係数\to t_{12}\\ 誘電体から真空中へ入射するときの透過係数\to t_{21}\\ 真空中から誘電体へ入射するときの反射係数\to r_{12}\\ 誘電体から真空中へ入射するときの反射係数\to r_{21}\\ \end{cases} \end{eqnarray}

これらを使って振幅を求めていきます。

$E_1$を求める

では手始めに内部で二度反射した電磁波の振幅を求めてみましょう。

二度反射して出てきた電磁波はまず、

真空中から誘電体に透過($t_{12}$)
次に下の面で誘電体中から真空中へ反射($r_{21}$)
次に上の面で誘電体中から真空中へ反射($r_{21}$)
最後に誘電体中から真空中へ透過($t_{21}$)

という経路をたどるので出てくる電場の振幅は

$$ E_1 = |E_i t_{12}r_{21}r_{21}t_{21}\underbrace{e^{i\phi}}_{W_0との位相差}| = E_it_{12}r^2_{21}t_{21} $$

となります。

$E_m$を求める

よって同じように考えると$E_m$は誘電体内部で$2m$回反射しているので

$$ \begin{eqnarray} E_m &=& |E_i t_{12}\;\underbrace{r_{21}r_{21}\cdots r_{21}}_{2m個}\;t_{21}e^{im\phi}|\\ &=& E_i t_{12}(r_{21})^{2m}t_{21}\tag{1} \end{eqnarray} $$

となります。

ここで $$ r_{12} = r $$ と置きます。

すると、 $$ r_{21} = -r_{12} = -r $$ $$ t_{12}t_{21} = 1-r^2_{12} = 1-r^2 $$

が成り立つので

(1)式は $$ \begin{eqnarray} E_m &=& E_i t_{12}(r_{21})^{2m}t_{21}\\ &=& E_i (1-r^2)(-1)^{2m}(r)^{2m}\\ &=& E_i(1-r^2)r^{2m} \end{eqnarray} $$

となります。

透過平面波の電場の振幅

透過した平面波の電場はすべての$W_m$の総和と考えることができるので

透過平面波の電場の振幅$E_t$は

$$ \begin{eqnarray} E_t &=& \left|\sum_{m\to 0}^{\infty}E_i (1-r^2)r^{2m}e^{im\phi}\right|\\ &=& \left|\frac{E_i (1-r^2)}{1-r^2e^{i\phi}}\right| \end{eqnarray} $$

となります。

透過波の強度比

次に透過波の強度比を求めます。

強度比$T$は $$ T = \left|\frac{E_t}{E_i}\right|^2 $$ なので複素数に注意して

$$ T = \frac{(1-r^2)}{1-r^2e^{i\phi}}\frac{(1-r^2)}{1-r^2e^{-i\phi}} $$

ここで $$ r^2 = R $$ とおくと、

$$ \begin{eqnarray} T &=& \frac{(1-R)^2}{(1-Re^{i\phi})(1-Re^{-i\phi})}\\ &=&\frac{1-2R +r^2}{1+R^2-R(e^{i\phi}+e^{-i\phi})}\\ &=& \frac{1-2R +r^2}{1+R^2-2R\cos\phi}\;\;\;\left(途中で\cos\phi = \frac{e^{i\phi}+e^{-i\phi}}{2}を使った\right) \end{eqnarray} $$

となります。